Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 56.25 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 2.5 mm dan pengurangan laju 1.5 : 1. Berapakah bilangan gigi N₁ yang mesti dimiliki oleh pinion?

a = 56.25 mmm = 2.5 mmi = 1.5

N₁ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (15 gigi) pada aci masukan berputar pada 2880 rpm dan menggerakkan gear B (18 gigi). Gear C (60 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 1800 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 2880 rpmA = 15B = 18C = 60n_out = 1800 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 200 N·m dikenakan pada C, 1.5 m dari A dan 0.5 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 1.5 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa daya tegangan paksi 30 kN bersama-sama dengan tork 2000 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmF = 30 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 65 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 125 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 1 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 1 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 5 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 15 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₁ = 18

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·56.25/2.5 = 45

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 45/(1 + 1.5) = 18

Jawapan

N₁ = 18

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 80

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 2880·15/18 = 2400 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 60·2400/1800 = 80

Jawapan

N_D = 80

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.434 °

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·79522) = 0.07739 rad

φ = 0.07739·180/π = 4.434°

Jawapan

φ = 4.434°

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 50 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0.5/2 = 50 N·m

T_B = 200·1.5/2 = 150 N·m

Jawapan

T_A = 50 N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −53.35 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −30/104.4 = −0.2873, sin 2θ_s = −100/104.4 = −0.9578

2θ_s = atan2(−100, −30) = −106.7°

Sudut pada unsur

θ_s = −53.35°

semakan: θ_s − θ_p = −53.35 − (−8.35) = −45°

Jawapan

θ_s = −53.35°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 399.1 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 30000/(π·30²/4) = 30000/706.9 = 42.44 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377.3 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 21.22 MPa

R = √(21.22² + 377.3²) = 377.9 MPa

σ₁ = C + R = 399.1 MPa

σ₂ = C − R = −356.6 MPa

Jawapan

σ₁ = 399.1 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 3316 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 663.1/200000 = 0.003316 = 3316 µε

Jawapan

ε = 3316 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 574.7 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 91.96 MPa

σ₂ = 574.7 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 574.7 MPa

Jawapan

σ_max = 574.7 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 139.5 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN

Jawapan

P_cr = 139.5 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 58.67 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58.67 mm

Jawapan

d = 58.67 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 119.3, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07885

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/5)·ln(12/1) = 0.497

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.497/√(39.48 + 0.247) = 0.07885

Jawapan

ζ = 0.07885

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 1.053 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·5/(35 + 5) = 4.375 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4375/100) = 6.614 rad/s

f_n = 6.614/(2π) = 1.053 Hz

Jawapan

f_n = 1.053 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design