Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 50 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 24N₂ = 50η = 96%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 120 mm dan takal 300 mm yang pusatnya berjarak 800 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 120 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 75 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 2.16° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2.16°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 10 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.5° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 35 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 15 mm diikuti satu kitaran kemudian oleh puncak 12.4 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 12.4 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 72.44 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303.7 = 36.22 N·m

Tork keluaran

T₂ = 36.22·50/24·0.96 = 72.44 N·m

Jawapan

T₂ = 72.44 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 167.1 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.1125) = 6.459°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·6.459 = 167.1°

Jawapan

θ = 167.1°

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 80.06 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.16·π/180 = 0.0377 rad

Modulus ricih

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0.0377) = 80056 MPa

G = 80.06 GPa

Jawapan

G = 80.06 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.92 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·80)) = 20.09 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 36.92 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(20.09, 36.92) = 36.92 mm

Jawapan

d = 36.92 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −31.72 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −10 − −60) = −63.43°

Sudut pada unsur

θ_p = −31.72°

Jawapan

θ_p = −31.72°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 52.32 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + −50·0.5 + −20·−0.866 = 52.32 MPa

Jawapan

σ_θ = 52.32 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.183 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 445.6/70000 = 0.006366 = 6366 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.006366·500 mm = 3.183 mm

Jawapan

δ = 3.183 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.061 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 15.92 MPa

σ₂ = 176.8 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15.92·2000/117000 = 0.2721 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176.8·1500/70000 = 3.789 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.061 mm

Jawapan

δ = 4.061 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.12 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2.12 kN

Jawapan

P_cr = 2.12 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 87.73 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa

Jawapan

σ_cr = 87.73 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.03028

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/1)·ln(15/12.4) = 0.1904

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1904/√(39.48 + 0.03623) = 0.03028

Jawapan

ζ = 0.03028

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.538 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 40 + 30 = 70 kN/m

k_eq = 70·15/(70 + 15) = 12.35 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(12353/25) = 22.23 rad/s

f_n = 22.23/(2π) = 3.538 Hz

Jawapan

f_n = 3.538 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design