Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 360 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 5 mm dan pengurangan laju 5 : 1. Berapakah bilangan gigi N₂ yang mesti dimiliki oleh gear?

a = 360 mmm = 5 mmi = 5

N₂ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 1.1 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (25 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 1.1 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 80C = 25D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 30 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.5° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 1000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 50 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 200 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 12 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₂ = 120

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·360/5 = 144

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 144/(1 + 5) = 24

N₂ = 5·24 = 120

Jawapan

N₂ = 120

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 52.35 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 2900·(15/80)·(25/72) = 188.8 rpm

ω_out = 2π·188.8/60 = 19.77 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 1100·0.97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/19.77 = 52.35 N·m

Jawapan

T_out = 52.35 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.796 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0.03134 rad

φ = 0.03134·180/π = 1.796°

Jawapan

φ = 1.796°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 48.59 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·80)) = 28.97 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 48.59 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(28.97, 48.59) = 48.59 mm

Jawapan

d = 48.59 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −75.13 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −40 − 30) = −150.3°

Sudut pada unsur

θ_p = −75.13°

Jawapan

θ_p = −75.13°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 235.8 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188.6 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 141.5 MPa

R = √(141.5² + 188.6²) = 235.8 MPa

Jawapan

τ_max = 235.8 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 47.59 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1.179 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/5.253 × 10⁻⁶ = 47589 N = 47.59 kN

Jawapan

P = 47.59 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.7377 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 28.29 MPa

σ₂ = 63.66 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28.29·2000/200000 = 0.2829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63.66·500/70000 = 0.4547 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.7377 mm

Jawapan

δ = 0.7377 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 69.21 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1750² = 69210 N = 69.21 kN

Jawapan

P_cr = 69.21 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 9.064 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7.5 = 466.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466.7² = 9.064 MPa

Jawapan

σ_cr = 9.064 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 9.225 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/50) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.4²) = 9.225 Hz

Jawapan

f_d = 9.225 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.206 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 80 + 12 = 92 kN/m

k_eq = 92·80/(92 + 80) = 42.79 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(42791/40) = 32.71 rad/s

f_n = 32.71/(2π) = 5.206 Hz

Jawapan

f_n = 5.206 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design