Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 25N2​ = 45

Sebuah motor 1.5 kW yang berputar pada 1440 rpm memacu pinion 25 gigi, yang bertaut dengan gear 45 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 25N2 = 45η = 95%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 20B = 80C = 25D = 72

Sebuah motor 5.5 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (20 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (25 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran Tout.

P = 5.5 kWnin = 960 rpmA = 20B = 80C = 25D = 72ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 400 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 400 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Tdo​ = 40 mm, di​ = 28 mm

Satu aci berongga menghantar 30 kW pada 750 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.

P = 30 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 150σy​ = −30τxy​ = −60MPa

Satu titik mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θs, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 60σy​ = −20τxy​ = 20MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 460 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPaσY = 460 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 30 mmAluminium1 mP = 35 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
50 kN12400 mm300 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 50 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 5 m40 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 2 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 50 kN/mζ = 0.45m = 20 kg

Jisim 20 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 20 kgk = 50 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 40k2​ = 10k3​ = 50m = 100 kg

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 50 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 10 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 17.01 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m

Tork keluaran

T2 = 9.947·45/25·0.95 = 17.01 N·m

Jawapan

T2 = 17.01 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 605.3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 960·(20/80)·(25/72) = 83.33 rpm
ωout = 2π·83.33/60 = 8.727 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 5500·0.98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/8.727 = 605.3 N·m

Jawapan

Tout = 605.3 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 33.4 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·80·0.6836)) = 33.4 mm
di = 0.75·33.4 = 25.05 mm

Jawapan

do = 33.4 mm

Aci pepejal memerlukan d = 29.42 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 40 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 381972·20/190984 = 40 MPa

Jawapan

τmax = 40 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θs = −61.85 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θs = −60/108.2 = −0.5547, sin 2θs = −90/108.2 = −0.8321
2θs = atan2(−90, −60) = −123.7°

Sudut pada unsur

θs = −61.85°
semakan: θs − θp = −61.85 − (−16.85) = −45°

Jawapan

θs = −61.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 5.143

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = 20 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 64.72 MPa, σ2 = −24.72 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 89.44 MPa
n = 460/89.44 = 5.143

Jawapan

n = 5.143

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 707.4 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 35·1000/706.9 = 49.51 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49.51/70000 = 0.0007074 = 707.4 µε

Jawapan

ε = 707.4 µε
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 14.38 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 50000·458149/811578 = 28226 N

Tegasan

σ2 = 28226/1963 = 14.38 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 14.38 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 29.48 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2500² = 29477 N = 29.48 kN

Jawapan

Pcr = 29.48 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 77.11 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

Jawapan

σcr = 77.11 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 7.106 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(50000/20) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7.958 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.958·√(1 − 0.45²) = 7.106 Hz

Jawapan

fd = 7.106 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 2.516 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 40 + 10 = 50 kN/m
keq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(25000/100) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

Jawapan

fn = 2.516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design