Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 20N2​ = 30

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1440 rpm memacu pinion 20 gigi, yang bertaut dengan gear 30 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 3 kWn1 = 1440 rpmN1 = 20N2 = 30η = 100%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 15B = 40C = 18D = ?

Dalam alur gear majmuk, gear A (15 gigi) pada aci masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan gear B (40 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 405 rpm. Berapakah bilangan gigi ND yang mesti dimiliki oleh gear D?

nin = 1440 rpmA = 15B = 40C = 18nout = 405 rpm
ND =
3.Kilasan aciSederhana
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Td = ?

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = 60MPa

Satu titik mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θs, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​τxy​permukaan aci

Aci pepejal berdiameter 25 mm membawa daya mampatan paksi 160 kN bersama-sama dengan tork 200 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ1.

d = 25 mmF = −160 kNT = 200 N·m
σ1 = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
100 kNØ40100 GPaØ100/50500 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
20 kN12600 mm200 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 20 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 1.5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
tx40 mm3 kitaran6 mm

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 40 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 6 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x0 = 40 mmx3 = 6 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 60k2​ = 5k3​ = 50m = 10 kg

Jisim 10 kg tergantung pada spring k₃ = 50 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 60 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 29.84 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/150.8 = 19.89 N·m

Tork keluaran

T2 = 19.89·30/20·1 = 29.84 N·m

Jawapan

T2 = 29.84 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: ND = 24

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

nB = nC = 1440·15/40 = 540 rpm

Gigi pada gear D

ND = C·nC/nout = 18·540/405 = 24

Jawapan

ND = 24
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 9.864 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·251327) = 0.1722 rad
φ = 0.1722·180/π = 9.864°

Jawapan

φ = 9.864°
4.Kilasan aci

Jawapan: d = 52.64 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·50)) = 52.64 mm

Jawapan

d = 52.64 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θs = 27.39 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θs = 60/104 = 0.5767, sin 2θs = −(−85)/104 = 0.817
2θs = atan2(85, 60) = 54.78°

Sudut pada unsur

θs = 27.39°
semakan: θs − θp = 27.39 − 72.39 = −45°

Jawapan

θs = 27.39°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ1 = 12.55 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −160000/(π·25²/4) = −160000/490.9 = −325.9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa
στxyCσ1​σ2​

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −163 MPa
R = √((−163)² + 65.19²) = 175.5 MPa
σ1 = C + R = 12.55 MPa
σ2 = C − R = −338.5 MPa

Jawapan

σ1 = 12.55 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.0595 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·500/8.404 × 10⁸ = 0.0595 mm

Jawapan

δ = 0.0595 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 16.98 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·706.9/200 = 353429 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 20000·353429/589049 = 12000 N

Tegasan

σ2 = 12000/706.9 = 16.98 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 16.98 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 160.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160.2 kN

Jawapan

Pcr = 160.2 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 35.25 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

Jawapan

σcr = 35.25 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1001

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(40/6) = 0.6324

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

Jawapan

ζ = 0.1001
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 8.461 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 60 + 5 = 65 kN/m
keq = 65·50/(65 + 50) = 28.26 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(28261/10) = 53.16 rad/s
fn = 53.16/(2π) = 8.461 Hz

Jawapan

fn = 8.461 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design