Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 200 mm pada 1440 rpm. Tegangannya ialah 1500 N pada sisi kencang dan 600 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 120 mm pada 1450 rpm kepada takal 250 mm; pusatnya berjarak 1200 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 600 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 600 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal 1.5 m panjang membawa tork 400 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 400 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 400 N·m bertindak pada B, 1.5 m dari A, dan tork 500 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 0.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 30 MPa dan σᵧ = 100 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 115 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 150 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 150 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg pada spring berkekakuan 20 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.6. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 20 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 13.57 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 15.08 m/s

Kuasa

P = (1500 − 600)·15.08 = 13572 W = 13.57 kW

Jawapan

P = 13.57 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.266 kW

Sudut lilitan

θ = 3.033 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.91 = 2.484, T₂ = 600/2.484 = 241.5 N

Kuasa

P = (600 − 241.5)·9.111 = 3.266 kW

Jawapan

P = 3.266 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 50.94 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(26000·0.03491) = 661105 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 50.94 mm

Jawapan

d = 50.94 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 39.79 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 400 = 100 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa

Jawapan

τ_max = 39.79 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 35.71 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (30 + 100)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 65 = 50 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 35²) = 35.71 MPa

Jawapan

τ_xy = 35.71 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −97.39 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −80·0.6428 + −60·0.766 = −97.39 MPa

Jawapan

τ_θ = −97.39 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 28.65 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/1.047 × 10⁻⁵ = 28650 N = 28.65 kN

Jawapan

P = 28.65 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 30.52 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 100000·175929/458673 = 38356 N

Tegasan

σ₂ = 38356/1257 = 30.52 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 30.52 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 31.64 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31.64 kN

Jawapan

P_cr = 31.64 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 90.9 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 90.9 mm

Jawapan

d = 90.9 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 184.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 3.601 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(20000/25) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.6²) = 3.601 Hz

Jawapan

f_d = 3.601 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 8.254 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 30 = 130 kN/m

k_eq = 130·15/(130 + 15) = 13.45 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(13448/5) = 51.86 rad/s

f_n = 51.86/(2π) = 8.254 Hz

Jawapan

f_n = 8.254 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design