Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 120 mm pada 960 rpm memacu takal 400 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1.5 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 80 mm pada 960 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 1200 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 800 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 300 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1200 mm dan ketebalan dinding 15 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1200 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 120 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 105 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 40 kg pada spring berkekakuan 100 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.7. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 283.7 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

960·120/400 = 288 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 288·0.985 = 283.7 rpm

Jawapan

n₂ = 283.7 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.075 kW

Sudut lilitan

θ = 2.958 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^1.035 = 2.816, T₂ = 800/2.816 = 284.1 N

Kuasa

P = (800 − 284.1)·4.021 = 2.075 kW

Jawapan

P = 2.075 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.923 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·251327) = 0.05101 rad

φ = 0.05101·180/π = 2.923°

Jawapan

φ = 2.923°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm

Jawapan

d = 23.49 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 46.1 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 15 MPa, R = √(35² + 30²) = 46.1 MPa

σ₁ = 61.1 MPa, σ₂ = −31.1 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(92.2, 61.1, 31.1)/2 = 46.1 MPa

Jawapan

τ_abs = 46.1 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 31.74 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Silinder berdinding nipis: tegasan lingkar σ_h = pr/t dan tegasan paksi σ_a = pr/(2t); inilah tegasan utama dalam dinding.

Tegasan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1·600/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 20·sin²40° + 40·cos²40° = 31.74 MPa

Jawapan

σ_n = 31.74 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.02984 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·300/8.042 × 10⁸ = 0.02984 mm

Jawapan

δ = 0.02984 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 382 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 169.8 MPa

σ₂ = 382 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 382 MPa

Jawapan

σ_max = 382 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 635 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

Jawapan

P_cr = 635 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 70.27 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·105000 = 262500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70.27 mm

Jawapan

d = 70.27 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 170.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 5.683 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(100000/40) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7.958 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.958·√(1 − 0.7²) = 5.683 Hz

Jawapan

f_d = 5.683 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 75 kN/m

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 50 = 75 kN/m

Jawapan

k_eq = 75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design