Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 0.75 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 36 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 0.75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 100%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (48 gigi) pada aci masukan berputar pada 2880 rpm dan menggerakkan gear B (80 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 864 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 2880 rpmA = 48B = 80C = 18n_out = 864 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 2000 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 5 kW pada 300 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.5° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 100 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 95 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 95 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 50 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 10 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 7.46 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100.5 = 7.46 N·m

Jawapan

T₁ = 7.46 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 36

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 2880·48/80 = 1728 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 18·1728/864 = 36

Jawapan

N_D = 36

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 66 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.5904)) = 66 mm

d_i = 0.8·66 = 52.8 mm

Jawapan

d_o = 66 mm

Aci pepejal memerlukan d = 55.37 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 39.04 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·60)) = 23.82 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 39.04 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(23.82, 39.04) = 39.04 mm

Jawapan

d = 39.04 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −73.15 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −20 − 10) = −146.3°

Sudut pada unsur

θ_p = −73.15°

Jawapan

θ_p = −73.15°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.815

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 30 MPa, R = 70.71 MPa

σ₁ = 100.7 MPa, σ₂ = −40.71 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(100.7² − 100.7·(−40.71) + (−40.71)²) = 126.1 MPa

n = 355/126.1 = 2.815

Jawapan

n = 2.815

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 9.095 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 100·1000/314.2 = 318.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318.3/70000 = 0.004547 = 4547 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.004547·2000 mm = 9.095 mm

Jawapan

δ = 9.095 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 9.349 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·494801/1.123 × 10⁶ = 26434 N

Tegasan

σ₂ = 26434/2827 = 9.349 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 9.349 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 27.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

Jawapan

P_cr = 27.56 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 60.01 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60.01 mm

Jawapan

d = 60.01 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 140, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 8.766 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(50000/15) = 57.74 rad/s

f_n = 57.74/(2π) = 9.189 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9.189·√(1 − 0.3²) = 8.766 Hz

Jawapan

f_d = 8.766 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 13.32 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 10 = 70 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(70000/10) = 83.67 rad/s

f_n = 83.67/(2π) = 13.32 Hz

Jawapan

f_n = 13.32 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design