Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah motor 22 kW yang berjalan pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi dan modul 4 mm. Cari daya tangen Ft pada gigi pinion.
P = 22 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 4 mm
Ft = N
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 7.5 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (45 gigi). Gear C (20 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (30 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran Tout.
P = 7.5 kWnin = 2900 rpmA = 15B = 45C = 20D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.
T = 500 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Satu aci berongga menghantar 15 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.
P = 15 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θs, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).
σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τθ pada satah yang normalnya diputar 60° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).
σx = 150 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 120 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.
rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 20 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 15.6 mm. Cari nisbah redaman ζ.
x0 = 20 mmx2 = 15.6 mmn = 2
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 100 kN/m dan spring bawah k₂ = 40 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Ft = 1207 N
Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: Ft = 2T/d.
Tork pada pinion
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 22000/303.7 = 72.44 N·m
Diameter pic
d = m·N = 4·30 = 120 mm
Daya tangen
Ft = 2T/d = 2·72.44/0.12 = 1207 N
Jawapan
Ft = 1207 N
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 106.7 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 2900·(15/45)·(20/30) = 644.4 rpm
ωout = 2π·644.4/60 = 67.49 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 7500·0.98² = 7203 W
Tout = Pout/ωout = 7203/67.49 = 106.7 N·m
Jawapan
Tout = 106.7 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: φ = 11.08 °
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen luas kutub kedua
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0.1935 rad
φ = 0.1935·180/π = 11.08°
Jawapan
φ = 11.08°
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 16.67 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
Momen luas kutub kedua
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
Tegasan ricih maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 143239·20/171806 = 16.67 MPa
Jawapan
τmax = 16.67 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: θs = −9.217 °
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan
Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.
cos 2θs = 60/63.25 = 0.9487, sin 2θs = −20/63.25 = −0.3162
2θs = atan2(−20, 60) = −18.43°
Sudut pada unsur
θs = −9.217°
semakan: θs − θp = −9.217 − 35.78 = −45°
Jawapan
θs = −9.217°
Sudut positif ialah lawan arah jam.
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τθ = −124.6 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
τθ = −115·0.866 + 50·−0.5 = −124.6 MPa
Jawapan
τθ = −124.6 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 5305 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1061/200000 = 0.005305 = 5305 µε
Jawapan
ε = 5305 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: Pmax = 197.8 kN
Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.
Luas
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
Kekakuan paksi gabungan
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·3063 = 4.351 × 10⁸ N
Terikan penentu
ε = min(0.001, 0.0004545) = 0.0004545 (gangsa)
Beban terbesar
Pmax = 0.0004545·4.351 × 10⁸ = 197778 N = 197.8 kN
Jawapan
Pmax = 197.8 kN
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 2.12 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 2·5000 = 10000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2.12 kN
Jawapan
Pcr = 2.12 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 197.4 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
Jawapan
σcr = 197.4 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.01977
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Penyusutan logaritma
δ = (1/2)·ln(20/15.6) = 0.1242
Nisbah redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1242/√(39.48 + 0.01543) = 0.01977
Jawapan
ζ = 0.01977
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 6.015 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/100 + 1/40 → keq = 100·40/(100 + 40) = 28.57 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(28571/20) = 37.8 rad/s
fn = 37.8/(2π) = 6.015 Hz
Jawapan
fn = 6.015 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design