Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 18N2​ = 40

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 18 gigi, yang bertaut dengan gear 40 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T1 pada aci motor.

P = 3 kWn1 = 960 rpmN1 = 18N2 = 40η = 100%
T1 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 36B = 48C = 18D = ?

Dalam alur gear majmuk, gear A (36 gigi) pada aci masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan gear B (48 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 777.6 rpm. Berapakah bilangan gigi ND yang mesti dimiliki oleh gear D?

nin = 1440 rpmA = 36B = 48C = 18nout = 777.6 rpm
ND =
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 100 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 100 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 100 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Td = ?

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 1800 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 90σy​ = 70MPaτxy​ = ?

Satu titik mempunyai σₓ = 90 MPa dan σᵧ = 70 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τxy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 100 MPa?

σx = 90 MPaσy = 70 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
40°D = 1500 mm, t = 15 mm, p = 2.5 MPap

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1500 mm dan ketebalan dinding 15 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τn| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 2.5 MPaα = 40°
|τn| = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
50 kNØ40120 GPaØ120/70300 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø30120 GPaØ120/50400 mm

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 80 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 m25 × 100 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 5 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 200 kN/mc = 280 N·s/mm = 15 kg

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 200 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 280 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 200 kN/mc = 280 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 50k2​ = 5m = 40 kg

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 50 kN/m dan spring bawah k₂ = 5 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T1 = 29.84 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

Jawapan

T1 = 29.84 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: ND = 25

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

nB = nC = 1440·36/48 = 1080 rpm

Gigi pada gear D

ND = C·nC/nout = 18·1080/777.6 = 25

Jawapan

ND = 25
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 23.75 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0.7599)) = 23.75 mm
di = 0.7·23.75 = 16.63 mm

Jawapan

do = 23.75 mm

Aci pepejal memerlukan d = 21.68 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 32.32 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·397887/(π·60)) = 32.32 mm

Jawapan

d = 32.32 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τxy = 17.32 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (90 + 70)/2 = 80 MPa
R = σ1 − C = 100 − 80 = 20 MPa
σxyCσ1​σ2​

Tegasan ricih

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 10²) = 17.32 MPa

Jawapan

τxy = 17.32 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τn| = 30.78 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Silinder berdinding nipis: tegasan lingkar σh = pr/t dan tegasan paksi σa = pr/(2t); inilah tegasan utama dalam dinding.

Tegasan dinding

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2.5·750/15 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σa) dan y di sekeliling lingkar (σh). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τn| = (125 − 62.5)·sin 40°·cos 40° = 30.78 MPa

Jawapan

|τn| = 30.78 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.01308 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1.147 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·300/1.147 × 10⁹ = 0.01308 mm

Jawapan

δ = 0.01308 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 841.9 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0006667) = 0.0006667 (kuprum)

Beban terbesar

Pmax = 0.0006667·1.263 × 10⁹ = 841947 N = 841.9 kN

Jawapan

Pmax = 841.9 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 524.5 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/700² = 524533 N = 524.5 kN

Jawapan

Pcr = 524.5 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 6.218 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333.3

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

Jawapan

σcr = 6.218 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.08083

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·15) = 3464 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 280/3464 = 0.08083

Jawapan

ζ = 0.08083

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 1.697 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/50 + 1/5 → keq = 50·5/(50 + 5) = 4.545 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(4545/40) = 10.66 rad/s
fn = 10.66/(2π) = 1.697 Hz

Jawapan

fn = 1.697 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design