Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 150 mmd2​ = 400 mm1450 rpmT1​ = 500 NT2​ = 150 NP = ?

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 500 N pada sisi kencang dan 150 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d1 = 150 mmn1 = 1450 rpmT1 = 500 NT2 = 150 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 200 mmd2​ = 315 mm960 rpmC = 1200 mmθ = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 200 mm dan takal 315 mm yang pusatnya berjarak 1200 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d1 = 200 mmd2 = 315 mmC = 1200 mm
θ = °
3.Kilasan aciSederhana
d1​ = 25 mmd2​ = 20 mmT = 100 N·mABC2 m1.5 m

Aci keluli pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 25 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 1.5 m. Tork 100 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φC hujung C, dalam darjah.

T = 100 N·md1 = 25 mm, L1 = 2 md2 = 20 mm, L2 = 1.5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Kilasan aciSukar
Td = ?

Satu aci pejal mesti menghantar 15 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 150σy​ = 0τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 150 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 50σy​ = 110τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 50 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
200 kNØ2570 GPaØ100/60400 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
40 kN12600 mm500 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 40 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1.5 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 150 kNL = 4 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 150 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 150 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 20 kN/mc = 2080 N·s/mm = 150 kg

Jisim 150 kg disokong oleh spring berkekakuan 20 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 2080 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 150 kgk = 20 kN/mc = 2080 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 12k2​ = 30k3​ = 15m = 25 kg

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.986 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 11.39 m/s

Kuasa

P = (500 − 150)·11.39 = 3986 W = 3.986 kW

Jawapan

P = 3.986 kW
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 174.5 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.04792) = 2.746°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·2.746 = 174.5°

Jawapan

θ = 174.5°
3.Kilasan aci

Jawapan: φC = 10.57 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J1 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 100000·2000/(80000·38350) = 0.06519 rad
φBC = 100000·1500/(80000·15708) = 0.1194 rad

Jumlah kilasan

φC = 0.06519 + 0.1194 = 0.1846 rad = 10.57°

Jawapan

φC = 10.57°
4.Kilasan aci

Jawapan: d = 39.32 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39.32 mm

Jawapan

d = 39.32 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θp = 10.9 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 150 − 0) = 21.8°

Sudut pada unsur

θp = 10.9°

Jawapan

θp = 10.9°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 114.8 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 80 + −30·−0.1736 + 30·0.9848 = 114.8 MPa

Jawapan

σθ = 114.8 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1778 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5027 = 4.5 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·400/4.5 × 10⁸ = 0.1778 mm

Jawapan

δ = 0.1778 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 13.32 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 40000·301593/720472 = 16744 N

Tegasan

σ2 = 16744/1257 = 13.32 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 13.32 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 27.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

Jawapan

Pcr = 27.56 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 74.22 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 74.22 mm

Jawapan

d = 74.22 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 150.9, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.6004

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·150) = 3464 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 2080/3464 = 0.6004

Jawapan

ζ = 0.6004

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.346 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 12 + 30 = 42 kN/m
keq = 42·15/(42 + 15) = 11.05 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(11053/25) = 21.03 rad/s
fn = 21.03/(2π) = 3.346 Hz

Jawapan

fn = 3.346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design