Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 120 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 600 N pada sisi kencang dan 180 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 180 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 3 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (32 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (30 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (60 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 3 kWn_in = 1440 rpmA = 32B = 80C = 30D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 12 mm dipiuh oleh tork 30 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 5.41° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 30 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 5.41°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 250 N·m dikenakan pada C, 2.5 m dari A dan 0.5 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 2.5 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 100 kg pada spring berkekakuan 20 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 12 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.826 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 9.111 m/s

Kuasa

P = (600 − 180)·9.111 = 3826 W = 3.826 kW

Jawapan

P = 3.826 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 93.59 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 1440·(32/80)·(30/60) = 288 rpm

ω_out = 2π·288/60 = 30.16 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 3000·0.97² = 2823 W

T_out = P_out/ω_out = 2823/30.16 = 93.59 N·m

Jawapan

T_out = 93.59 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 39.02 GPa

Momen kutub dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5.41·π/180 = 0.09442 rad

Modulus ricih

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(2036·0.09442) = 39018 MPa

G = 39.02 GPa

Jawapan

G = 39.02 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 41.67 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0.5/3 = 41.67 N·m

T_B = 250·2.5/3 = 208.3 N·m

Jawapan

T_A = 41.67 N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 31.62 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−40 − −20)/2)² + −30²) = 31.62 MPa

Jawapan

τ_max = 31.62 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 37.96 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 20 + 10·−0.1736 + 20·0.9848 = 37.96 MPa

Jawapan

σ_θ = 37.96 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.36 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 159.2/117000 = 0.00136 = 1360 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00136·1000 mm = 1.36 mm

Jawapan

δ = 1.36 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.334 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 91.51 MPa

σ₂ = 572 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91.51·2000/70000 = 2.615 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·1000/100000 = 5.72 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.334 mm

Jawapan

δ = 8.334 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 467.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467.9 kN

Jawapan

P_cr = 467.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 44.22 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

Jawapan

σ_cr = 44.22 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.147 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(20000/100) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.3²) = 2.147 Hz

Jawapan

f_d = 2.147 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 10.43 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/12 → k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10.43 kN/m

Jawapan

k_eq = 10.43 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design