Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 15 kW yang berjalan pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi dan modul 5 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 15 kWn = 960 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (40 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (50 gigi). Gear C (16 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (80 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 40B = 50C = 16D = 80

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal 1.5 m panjang membawa tork 100 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 100 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 55 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 50 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 200 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada spring k₃ = 100 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 1989 N

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 15000/100.5 = 149.2 N·m

Diameter pic

d = m·N = 5·30 = 150 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·149.2/0.15 = 1989 N

Jawapan

F_t = 1989 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 240 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1500·40/50 = 1200 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1200·16/80 = 240 rpm

Jawapan

n_out = 240 rpm

nisbah keseluruhan = 6.25 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.02 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0.03491) = 165276 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 36.02 mm

Jawapan

d = 36.02 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 60.04 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2.387 × 10⁶·30/1.193 × 10⁶ = 60.04 MPa

Jawapan

τ_max = 60.04 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 60.23 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −50/98.62 = −0.507, sin 2θ_s = −(−85)/98.62 = 0.8619

2θ_s = atan2(85, −50) = 120.5°

Sudut pada unsur

θ_s = 60.23°

semakan: θ_s − θ_p = 60.23 − (−74.77) = 135°

Jawapan

θ_s = 60.23°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 26.46 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 10 MPa, R = 14.14 MPa

σ₁ = 24.14 MPa, σ₂ = −4.142 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(24.14² − 24.14·(−4.142) + (−4.142)²) = 26.46 MPa

Jawapan

σ_vM = 26.46 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 53.86 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1.326 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.2/3.714 × 10⁻⁶ = 53856 N = 53.86 kN

Jawapan

P = 53.86 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.918 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 77.81 MPa

σ₂ = 175.1 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77.81·1500/70000 = 1.667 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175.1·500/70000 = 1.251 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.918 mm

Jawapan

δ = 2.918 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.052 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN

Jawapan

P_cr = 3.052 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 21.93 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

Jawapan

σ_cr = 21.93 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 9.602 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/50) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.3²) = 9.602 Hz

Jawapan

f_d = 9.602 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 14.73 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·100/(75 + 100) = 42.86 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(42857/5) = 92.58 rad/s

f_n = 92.58/(2π) = 14.73 Hz

Jawapan

f_n = 14.73 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design