Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah motor 15 kW yang berjalan pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 25 gigi dan modul 5 mm. Cari daya tangen Ft pada gigi pinion.
P = 15 kWn = 2900 rpmN1 = 25m = 5 mm
Ft = N
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 3 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (48 gigi), yang bersalingan dengan gear B (60 gigi). Gear C (48 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran Tout.
P = 3 kWnin = 960 rpmA = 48B = 60C = 48D = 72ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Aci aluminium pepejal 1.5 m panjang membawa tork 200 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 0.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.
T = 200 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.Kilasan aciSukar
Satu aci berongga menghantar 10 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.
P = 10 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τθ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).
σx = 80 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 20 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.
segmen 1: keluli, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 150 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.
P = 150 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 20 kg disokong oleh spring berkekakuan 100 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 570 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.
m = 20 kgk = 100 kN/mc = 570 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 5 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 5 kgk1 = 25 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Ft = 790.3 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Tork pada pinion
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 15000/303.7 = 49.39 N·m
Diameter pic
d = m·N = 5·25 = 125 mm
Daya tangen
Ft = 2T/d = 2·49.39/0.125 = 790.3 N
Jawapan
Ft = 790.3 N
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 52.65 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 960·(48/60)·(48/72) = 512 rpm
ωout = 2π·512/60 = 53.62 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 3000·0.97² = 2823 W
Tout = Pout/ωout = 2823/53.62 = 52.65 N·m
Jawapan
Tout = 52.65 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: d = 60.58 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen kutub yang diperlukan
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1500/(26000·0.008727) = 1.322 × 10⁶ mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 60.58 mm
Jawapan
d = 60.58 mm
Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 8.731 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
Momen luas kutub kedua
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
Tegasan ricih maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/218755 = 8.731 MPa
Jawapan
τmax = 8.731 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: θp = −58.28 °
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan
Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−10, −20 − −10) = −116.6°
Sudut pada unsur
θp = −58.28°
Jawapan
θp = −58.28°
Sudut positif ialah lawan arah jam.
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τθ = 20 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
τθ = −20·−1 + 30·0 = 20 MPa
Jawapan
τθ = 20 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 407.4 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/100000 = 0.0004074 = 407.4 µε
Jawapan
ε = 407.4 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: σ2 = 30.87 MPa
Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.
Kekakuan
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm
Bahagian segmen 2
F2 = 80000·654498/863938 = 60606 N
Tegasan
σ2 = 60606/1963 = 30.87 MPa (mampatan)
Jawapan
σ2 = 30.87 MPa
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 19.62 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 2·1000 = 2000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19.62 kN
Jawapan
Pcr = 19.62 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: d = 103.8 mm
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Beban kritikal yang diperlukan
Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 103.8 mm
Jawapan
d = 103.8 mm
Semak: kelangsingan KL/r ialah 192.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.2015
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Redaman genting
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m
Nisbah redaman
ζ = c/cc = 570/2828 = 0.2015
Jawapan
ζ = 0.2015
ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 16.69 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 25 + 30 = 55 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(55000/5) = 104.9 rad/s
fn = 104.9/(2π) = 16.69 Hz
Jawapan
fn = 16.69 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design