Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 22 kW yang berjalan pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 2.5 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 22 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 2.5 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 200 mm pada 1440 rpm kepada takal 315 mm; pusatnya berjarak 600 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 5.91° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 5.91°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 1450 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 350 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 20 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 50 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 2 kg disokong oleh spring berkekakuan 80 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 40 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 2 kgk = 80 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada spring k₃ = 50 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 7244 N

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 22000/151.8 = 144.9 N·m

Diameter pic

d = m·N = 2.5·16 = 40 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·144.9/0.04 = 7244 N

Jawapan

F_t = 7244 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.854 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.95 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^1.032 = 2.808, T₂ = 500/2.808 = 178.1 N

Kuasa

P = (500 − 178.1)·15.08 = 4.854 kW

Jawapan

P = 4.854 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 39.01 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5.91·π/180 = 0.1031 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(4970·0.1031) = 39012 MPa

G = 39.01 GPa

Jawapan

G = 39.01 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.76 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·50)) = 23.76 mm

Jawapan

d = 23.76 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 67.08 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 40 MPa, R = √(60² + 30²) = 67.08 MPa

σ₁ = 107.1 MPa, σ₂ = −27.08 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134.2, 107.1, 27.08)/2 = 67.08 MPa

Jawapan

τ_abs = 67.08 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 3.752

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −15 MPa, R = 53.15 MPa

σ₁ = 38.15 MPa, σ₂ = −68.15 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(38.15² − 38.15·(−68.15) + (−68.15)²) = 93.27 MPa

n = 350/93.27 = 3.752

Jawapan

n = 3.752

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.088 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/117000 = 0.002176 = 2176 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.002176·500 mm = 1.088 mm

Jawapan

δ = 1.088 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 20.01 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 50000·719948/916298 = 39286 N

Tegasan

σ₂ = 39286/1963 = 20.01 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 20.01 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.326 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1750² = 4326 N = 4.326 kN

Jawapan

P_cr = 4.326 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 1.919 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

Jawapan

σ_cr = 1.919 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·2) = 800 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 40/800 = 0.05

Jawapan

ζ = 0.05

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 6.497 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 40 + 60 = 100 kN/m

k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33.33 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(33333/20) = 40.82 rad/s

f_n = 40.82/(2π) = 6.497 Hz

Jawapan

f_n = 6.497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design