Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Takal 150 mm pada 960 rpm memacu takal 250 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1.5 %. Cari laju n2 takal yang dipacu.
n1 = 960 rpmd1 = 150 mmd2 = 250 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.Gear & rangkaian gearSukar
Tali sawat terbuka menyambungkan takal 120 mm dan takal 500 mm yang pusatnya berjarak 600 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.
d1 = 120 mmd2 = 500 mmC = 600 mm
θ = °
3.Kilasan aciSederhana
Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 12 mm dipiuh oleh tork 40 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 8.66° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.
T = 40 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 8.66°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
Aci keluli pepejal berdiameter 30 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 200 N·m dikenakan pada C, 1.2 m dari A dan 2 m dari B. Cari tork tindak balas TA pada dinding A.
d = 30 mmT0 = 200 N·ma = 1.2 mb = 2 m
TA = N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.
σx = 20 MPaσy = 120 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x.
σx = 130 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.
P = 45 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 30 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 250 kg pada spring berkekakuan 150 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 250 kgk = 150 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 20 kN/m dan spring bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: n2 = 567.4 rpm
Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.
Laju tanpa gelinciran
960·150/250 = 576 rpm
Dengan gelinciran
n2 = 576·0.985 = 567.4 rpm
Jawapan
n2 = 567.4 rpm
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: θ = 143.1 °
Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.
Sudut tali sawat
asin(0.3167) = 18.46°
Sudut lilitan
θ = 180 − 2·18.46 = 143.1°
Jawapan
θ = 143.1°
3.Kilasan aci
Jawapan: G = 39 GPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen kutub dan sudut
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 8.66·π/180 = 0.1511 rad
Modulus ricih
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·300/(2036·0.1511) = 39000 MPa
G = 39 GPa
Jawapan
G = 39 GPa
Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.
4.Kilasan aci
Jawapan: TA = 125 N·m
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).
Keseimbangan dan keserasian
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·2/3.2 = 125 N·m
TB = 200·1.2/3.2 = 75 N·m
Jawapan
TA = 125 N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τmax = 50.99 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Jejari bulatan Mohr
τmax = R = √(((20 − 120)/2)² + 10²) = 50.99 MPa
Jawapan
τmax = 50.99 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σθ = 149.9 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
σθ = 105 + 25·0.766 + 40·0.6428 = 149.9 MPa
Jawapan
σθ = 149.9 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 3.357 mm
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 223.8/100000 = 0.002238 = 2238 µε
Pemanjangan
δ = ε·L = 0.002238·1500 mm = 3.357 mm
Jawapan
δ = 3.357 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 2.236 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 42.44 MPa
σ2 = 265.3 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 42.44·1500/70000 = 0.9095 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·1000/200000 = 1.326 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.236 mm
Jawapan
δ = 2.236 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 55.56 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1250² = 55563 N = 55.56 kN
Jawapan
Pcr = 55.56 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 49.35 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
Jawapan
σcr = 49.35 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 3.376 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(150000/250) = 24.49 rad/s
fn = 24.49/(2π) = 3.898 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.898·√(1 − 0.5²) = 3.376 Hz
Jawapan
fd = 3.376 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 2.055 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/20 + 1/100 → keq = 20·100/(20 + 100) = 16.67 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(16667/100) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz
Jawapan
fn = 2.055 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design