Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 1450 rpm memacu pinion 20 gigi, yang bertaut dengan gear 72 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 97%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 72η = 97%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 100 mm pada 1450 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 800 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 600 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0.3T₁ = 600 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 40 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 0.55° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 40 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.55°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 30 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 10 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.35. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 200 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 12 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 15 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 26.34 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m

Jawapan

T₁ = 26.34 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.642 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.891 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.8673 = 2.38, T₂ = 600/2.38 = 252.1 N

Kuasa

P = (600 − 252.1)·7.592 = 2.642 kW

Jawapan

P = 2.642 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 79.58 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0.55·π/180 = 0.009599 rad

Modulus ricih

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(15708·0.009599) = 79583 MPa

G = 79.58 GPa

Jawapan

G = 79.58 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 33.89 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·50)) = 33.89 mm

Jawapan

d = 33.89 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 76.16 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((110 − −30)/2)² + 30²) = 76.16 MPa

Jawapan

τ_max = 76.16 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 15 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −45 + −15·0 + −60·−1 = 15 MPa

Jawapan

σ_θ = 15 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2956 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 206.9/70000 = 0.002956 = 2956 µε

Jawapan

ε = 2956 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 443.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·7461 = 6.205 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0007143) = 0.0007143 (aluminium)

Beban terbesar

P_max = 0.0007143·6.205 × 10⁸ = 443189 N = 443.2 kN

Jawapan

P_max = 443.2 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 48.83 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

Jawapan

P_cr = 48.83 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 19.28 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12.5 = 320

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

Jawapan

σ_cr = 19.28 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 21.08 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/10) = 141.4 rad/s

f_n = 141.4/(2π) = 22.51 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22.51·√(1 − 0.35²) = 21.08 Hz

Jawapan

f_d = 21.08 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.559 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 60 + 15 = 75 kN/m

k_eq = 75·12/(75 + 12) = 10.34 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(10345/40) = 16.08 rad/s

f_n = 16.08/(2π) = 2.559 Hz

Jawapan

f_n = 2.559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design