Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 0.75 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 30 gigi, yang bertaut dengan gear 36 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 0.75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 36η = 96%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 11 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (12 gigi), yang bersalingan dengan gear B (50 gigi). Gear C (48 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 50C = 48D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 750 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 15 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 20 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 100 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 25 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 7.1 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 7.1 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 7.46 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100.5 = 7.46 N·m

Jawapan

T₁ = 7.46 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 151 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 2900·(12/50)·(48/50) = 668.2 rpm

ω_out = 2π·668.2/60 = 69.97 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 11000·0.98² = 10564 W

T_out = P_out/ω_out = 10564/69.97 = 151 N·m

Jawapan

T_out = 151 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 48.17 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0.6836)) = 48.17 mm

d_i = 0.75·48.17 = 36.13 mm

Jawapan

d_o = 48.17 mm

Aci pepejal memerlukan d = 42.43 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 26.89 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm

Jawapan

d = 26.89 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 48.3 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −10 − (−30)·0.5 − (−50)·0.866 = 48.3 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −68.3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 48.3 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 117.5 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −15 MPa, R = 67.27 MPa

σ₁ = 52.27 MPa, σ₂ = −82.27 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(52.27² − 52.27·(−82.27) + (−82.27)²) = 117.5 MPa

Jawapan

σ_vM = 117.5 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.441 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/117000 = 0.002176 = 2176 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.002176·2500 mm = 5.441 mm

Jawapan

δ = 5.441 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 884.2 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 203.7 MPa

σ₂ = 884.2 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 884.2 MPa

Jawapan

σ_max = 884.2 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 100.7 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

Jawapan

σ_cr = 100.7 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05002

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(25/7.1) = 0.3147

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09903) = 0.05002

Jawapan

ζ = 0.05002

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.632 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·80/(90 + 80) = 42.35 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(42353/50) = 29.1 rad/s

f_n = 29.1/(2π) = 4.632 Hz

Jawapan

f_n = 4.632 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design