Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 3 kW yang berjalan pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 2 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 11 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (20 gigi). Gear C (15 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (25 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 20C = 15D = 25η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 1.5 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 3 m. Tork 200 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 350 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 45 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 40 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 24.2 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 24.2 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada spring k₃ = 25 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 1243 N

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m

Diameter pic

d = m·N = 2·16 = 32 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·19.89/0.032 = 1243 N

Jawapan

F_t = 1243 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 228.8 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 960·(15/20)·(15/25) = 432 rpm

ω_out = 2π·432/60 = 45.24 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 11000·0.97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/45.24 = 228.8 N·m

Jawapan

T_out = 228.8 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 13.91 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·1500/(80000·79522) = 0.04716 rad

φ_BC = 200000·3000/(80000·38350) = 0.1956 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.04716 + 0.1956 = 0.2427 rad = 13.91°

Jawapan

φ_C = 13.91°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 18.25 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm

Jawapan

d = 18.25 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 26.18 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 30 MPa, R = √((−10)² + 20²) = 22.36 MPa

σ₁ = 52.36 MPa, σ₂ = 7.639 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44.72, 52.36, 7.639)/2 = 26.18 MPa

Jawapan

τ_abs = 26.18 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.858

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 75 MPa, R = 55.9 MPa

σ₁ = 130.9 MPa, σ₂ = 19.1 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(130.9² − 130.9·19.1 + 19.1²) = 122.5 MPa

n = 350/122.5 = 2.858

Jawapan

n = 2.858

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.3581 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314.2 = 143.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 143.2/200000 = 0.0007162 = 716.2 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0007162·500 mm = 0.3581 mm

Jawapan

δ = 0.3581 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 14.82 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·376991/1.215 × 10⁶ = 18621 N

Tegasan

σ₂ = 18621/1257 = 14.82 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 14.82 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 17.77 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/5000² = 17765 N = 17.77 kN

Jawapan

P_cr = 17.77 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 137.1 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12.5 = 120

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa

Jawapan

σ_cr = 137.1 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.01999

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(40/24.2) = 0.1256

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1256/√(39.48 + 0.01578) = 0.01999

Jawapan

ζ = 0.01999

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 7.04 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 60 + 30 = 90 kN/m

k_eq = 90·25/(90 + 25) = 19.57 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(19565/10) = 44.23 rad/s

f_n = 44.23/(2π) = 7.04 Hz

Jawapan

f_n = 7.04 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design