Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 80 mm pada 720 rpm. Tegangannya ialah 400 N pada sisi kencang dan 80 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 400 NT₂ = 80 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 120 mm pada 1440 rpm kepada takal 315 mm; pusatnya berjarak 1000 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.35T₁ = 500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 3 m panjang membawa tork 200 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 200 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal memindahkan 10 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa daya mampatan paksi 100 kN bersama-sama dengan tork 750 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmF = −100 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 3.7 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 3.7 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 40 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 0.9651 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 3.016 m/s

Kuasa

P = (400 − 80)·3.016 = 965.1 W = 0.9651 kW

Jawapan

P = 0.9651 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.911 kW

Sudut lilitan

θ = 2.946 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^1.031 = 2.804, T₂ = 500/2.804 = 178.3 N

Kuasa

P = (500 − 178.3)·9.048 = 2.911 kW

Jawapan

P = 2.911 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 54.74 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·3000/(39000·0.01745) = 881474 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 54.74 mm

Jawapan

d = 54.74 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 52.54 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 52.54 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(22.11, 52.54) = 52.54 mm

Jawapan

d = 52.54 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −18.78 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 150 − 20) = −37.57°

Sudut pada unsur

θ_p = −18.78°

Jawapan

θ_p = −18.78°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 31.94 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −100000/(π·40²/4) = −100000/1257 = −79.58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −39.79 MPa

R = √((−39.79)² + 59.68²) = 71.73 MPa

σ₁ = C + R = 31.94 MPa

σ₂ = C − R = −111.5 MPa

Jawapan

σ₁ = 31.94 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.04221 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5890 = 7.108 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·600/7.108 × 10⁸ = 0.04221 mm

Jawapan

δ = 0.04221 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.7884 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 40.74 MPa

σ₂ = 99.47 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40.74·500/70000 = 0.291 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99.47·1000/200000 = 0.4974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.7884 mm

Jawapan

δ = 0.7884 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 444.1 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444.1 kN

Jawapan

P_cr = 444.1 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 71.06 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

Jawapan

σ_cr = 71.06 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.03953

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(10/3.7) = 0.2486

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2486/√(39.48 + 0.06178) = 0.03953

Jawapan

ζ = 0.03953

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.033 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 40 = 100 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(100000/100) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

Jawapan

f_n = 5.033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design