Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 160 mmd2​ = 200 mm2880 rpmT1​ = 1000 NT2​ = 300 NP = ?

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 2880 rpm. Tegangannya ialah 1000 N pada sisi kencang dan 300 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d1 = 160 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1000 NT2 = 300 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 100 mmd2​ = 315 mm1440 rpmC = 1000 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 100 mm pada 1440 rpm kepada takal 315 mm; pusatnya berjarak 1000 mm. Pekali geseran ialah 0.25 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1000 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmd2 = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.25T1 = 1000 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
T = 100 N·md = 20 mmL = 0.8 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 25 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1 mb = 2 m

Aci aluminium pepejal berdiameter 25 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 400 N·m dikenakan pada C, 1 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut putaran φC keratan C, dalam darjah.

d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 1 mb = 2 mG = 26 GPa
φC = °
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 80σy​ = 40MPaτxy​ = ?

Satu titik mempunyai σₓ = 80 MPa dan σᵧ = 40 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τxy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 110 MPa?

σx = 80 MPaσy = 40 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −70σy​ = 90τxy​ = 60MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPaσY = 355 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 25 mmKuprum2.5 mP = 120 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 35 mmAluminium2 mØ 12 mmAluminium0.5 mP = 70 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 70 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 40 kNL = 1.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 150 kN/mc = 1610 N·s/mm = 12 kg

Jisim 12 kg disokong oleh spring berkekakuan 150 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 1610 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 12 kgk = 150 kN/mc = 1610 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 12k2​ = 10m = 40 kg

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 12 kN/m dan spring bawah k₂ = 10 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 16.89 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 24.13 m/s

Kuasa

P = (1000 − 300)·24.13 = 16889 W = 16.89 kW

Jawapan

P = 16.89 kW
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.912 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.926 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e0.7315 = 2.078, T₂ = 1000/2.078 = 481.2 N

Kuasa

P = (1000 − 481.2)·7.54 = 3.912 kW

Jawapan

P = 3.912 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.648 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·15708) = 0.06366 rad
φ = 0.06366·180/π = 3.648°

Jawapan

φ = 3.648°
4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 15.32 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2/3 = 266.7 N·m
TB = 400·1/3 = 133.3 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa TA.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 266667·1000/(26000·38350) = 0.2674 rad = 15.32°

Jawapan

φC = 15.32°
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τxy = 45.83 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (80 + 40)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 110 − 60 = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegasan ricih

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45.83 MPa

Jawapan

τxy = 45.83 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.775

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = 10 MPa, R = 100 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = −90 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 200 MPa
n = 355/200 = 1.775

Jawapan

n = 1.775

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2089 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 244.5/117000 = 0.002089 = 2089 µε

Jawapan

ε = 2089 µε
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 618.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 72.76 MPa
σ2 = 618.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 618.9 MPa

Jawapan

σmax = 618.9 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 5.426 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5.426 kN

Jawapan

Pcr = 5.426 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 57.78 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 57.78 mm

Jawapan

d = 57.78 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 207.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.6

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·12) = 2683 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 1610/2683 = 0.6

Jawapan

ζ = 0.6

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 1.859 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/10 → keq = 12·10/(12 + 10) = 5.455 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(5455/40) = 11.68 rad/s
fn = 11.68/(2π) = 1.859 Hz

Jawapan

fn = 1.859 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design