Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 12N2​ = 40

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 12 gigi, yang bertaut dengan gear 40 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T1 pada aci motor.

P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 12N2 = 40η = 100%
T1 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
Ns​ = 24anulus tetapNp​ = 20nc​ = ?

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 24 gigi dan setiap gear planet mempunyai 20 gigi. Gear anulus ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 1800 rpm. Cari laju nc pembawa planet.

Ns = 24Np = 20ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.Kilasan aciSederhana
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.5 mφ = ?

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

Satu aci berongga menghantar 30 kW pada 1800 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.

P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −20σy​ = 110τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −20 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −80σy​ = −40τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τθ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
250 kNØ20120 GPaØ100/50400 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
60 kN12500 mm200 mmØ20Ø30σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 3 md = 20 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 4 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 4 kN/mc = 40 N·s/mm = 12 kg

Jisim 12 kg disokong oleh spring berkekakuan 4 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 40 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 12 kgk = 4 kN/mc = 40 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 40k2​ = 25m = 100 kg

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.

m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T1 = 149.2 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

Jawapan

T1 = 149.2 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: nc = 490.9 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·20 = 64

Persamaan Willis dengan anulus tetap

Tetapkan nr = 0 dan selesaikan untuk laju pembawa.

(1800 − nc)/(0 − nc) = −64/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·24/88 = 490.9 rpm

Jawapan

nc = 490.9 rpm

Pembawa berputar dalam arah yang sama dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.387 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(26000·613592) = 0.09402 rad
φ = 0.09402·180/π = 5.387°

Jawapan

φ = 5.387°
4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 10.98 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/362265 = 10.98 MPa

Jawapan

τmax = 10.98 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θp = 77.61 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −20 − 110) = 155.2°

Sudut pada unsur

θp = 77.61°

Jawapan

θp = 77.61°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τθ = 34.6 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−20·0.766 + 30·0.6428 = 34.6 MPa

Jawapan

τθ = 34.6 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1299 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·400/7.697 × 10⁸ = 0.1299 mm

Jawapan

δ = 0.1299 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 65.48 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 120000·706.9/200 = 424115 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 60000·424115/549779 = 46286 N

Tegasan

σ2 = 46286/706.9 = 65.48 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 65.48 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 3.515 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3.515 kN

Jawapan

Pcr = 3.515 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 8.812 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/10 = 280

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

Jawapan

σcr = 8.812 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.09129

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·12) = 438.2 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 40/438.2 = 0.09129

Jawapan

ζ = 0.09129

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: keq = 65 kN/m

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.

keq = 40 + 25 = 65 kN/m

Jawapan

keq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design