Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Tali sawat berjalan pada takal pemacu 100 mm pada 720 rpm. Tegangannya ialah 1500 N pada sisi kencang dan 600 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.
d1 = 100 mmn1 = 720 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 7.5 kW pada 2900 rpm menggerakkan gear A (30 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (12 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (30 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran Tout.
P = 7.5 kWnin = 2900 rpmA = 30B = 80C = 12D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Aci berongga mesti membawa tork 2000 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.6 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
T = 2000 N·mdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Satu aci pejal mesti menghantar 30 kW pada 1450 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.
P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.
σx = 20 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 1000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.
d = 50 mmM = 300 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.
P = 110 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 55 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 1.1 mm. Cari nisbah redaman ζ.
x0 = 50 mmx5 = 1.1 mmn = 5
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 10 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 20 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: P = 3.393 kW
Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.
Laju tali sawat
v = 3.77 m/s
Kuasa
P = (1500 − 600)·3.77 = 3393 W = 3.393 kW
Jawapan
P = 3.393 kW
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 158.1 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 2900·(30/80)·(12/30) = 435 rpm
ωout = 2π·435/60 = 45.55 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 7500·0.98² = 7203 W
Tout = Pout/ωout = 7203/45.55 = 158.1 N·m
Jawapan
Tout = 158.1 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: do = 57.99 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.8704)) = 57.99 mm
di = 0.6·57.99 = 34.8 mm
Jawapan
do = 57.99 mm
Aci pepejal memerlukan d = 55.37 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
4.Kilasan aci
Jawapan: d = 27.2 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
Diameter daripada tegasan dibenarkan
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·197572/(π·50)) = 27.2 mm
Jawapan
d = 27.2 mm
Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τmax = 36.06 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Jejari bulatan Mohr
τmax = R = √(((20 − 60)/2)² + 30²) = 36.06 MPa
Jawapan
τmax = 36.06 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τmax = 42.54 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Tegasan pada permukaan
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24.45 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40.74 MPa
Bulatan Mohr
C = σ/2 = 12.22 MPa
R = √(12.22² + 40.74²) = 42.54 MPa
Jawapan
τmax = 42.54 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 0.7781 mm
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706.9 = 155.6 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 155.6/100000 = 0.001556 = 1556 µε
Pemanjangan
δ = ε·L = 0.001556·500 mm = 0.7781 mm
Jawapan
δ = 0.7781 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 4.469 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 486.3 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 43.77·500/70000 = 0.3126 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486.3·1000/117000 = 4.156 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.469 mm
Jawapan
δ = 4.469 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 200.9 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·2500 = 2500 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200.9 kN
Jawapan
Pcr = 200.9 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 7.676 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa
Jawapan
σcr = 7.676 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.1206
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Penyusutan logaritma
δ = (1/5)·ln(50/1.1) = 0.7633
Nisbah redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7633/√(39.48 + 0.5827) = 0.1206
Jawapan
ζ = 0.1206
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 9.416 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 15 + 20 = 35 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(35000/10) = 59.16 rad/s
fn = 59.16/(2π) = 9.416 Hz
Jawapan
fn = 9.416 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design