Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 200 mm pada 720 rpm memacu takal 500 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (16 gigi) pada aci masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan gear B (40 gigi). Gear C (12 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 144 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 960 rpmA = 16B = 40C = 12n_out = 144 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 38 mm, panjang 2 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 100 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 100 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 15° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 45 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 65 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 40 kg pada spring berkekakuan 5 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 30 kN/m dan spring bawah k₂ = 15 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 285.1 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

720·200/500 = 288 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 288·0.99 = 285.1 rpm

Jawapan

n₂ = 285.1 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 32

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 960·16/40 = 384 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 12·384/144 = 32

Jawapan

N_D = 32

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.078 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Sudut piuhan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·2000/(26000·408885) = 0.01881 rad

φ = 0.01881·180/π = 1.078°

Jawapan

φ = 1.078°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 41.78 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·50)) = 41.78 mm

Jawapan

d = 41.78 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 21.35 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 90 − −40) = 42.71°

Sudut pada unsur

θ_p = 21.35°

Jawapan

θ_p = 21.35°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −36.65 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −35 + −25·0.866 + 40·0.5 = −36.65 MPa

Jawapan

σ_θ = −36.65 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.964 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490.9 = 91.67 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91.67/70000 = 0.00131 = 1310 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00131·1500 mm = 1.964 mm

Jawapan

δ = 1.964 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 323.3 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 67.56 MPa

σ₂ = 323.3 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 323.3 MPa

Jawapan

σ_max = 323.3 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 367.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/1400² = 367173 N = 367.2 kN

Jawapan

P_cr = 367.2 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 111.3 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 111.3 mm

Jawapan

d = 111.3 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 143.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 1.589 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(5000/40) = 11.18 rad/s

f_n = 11.18/(2π) = 1.779 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.779·√(1 − 0.45²) = 1.589 Hz

Jawapan

f_d = 1.589 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 1.592 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/15 → k_eq = 30·15/(30 + 15) = 10 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(10000/100) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

Jawapan

f_n = 1.592 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design