Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 960 rpm. Tegangannya ialah 500 N pada sisi kencang dan 150 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 500 NT₂ = 150 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm kepada takal 250 mm; pusatnya berjarak 800 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 800 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 800 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg pada spring berkekakuan 5 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 5 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada spring k₃ = 40 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.815 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 8.042 m/s

Kuasa

P = (500 − 150)·8.042 = 2815 W = 2.815 kW

Jawapan

P = 2.815 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 5.941 kW

Sudut lilitan

θ = 3.017 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^1.056 = 2.874, T₂ = 800/2.874 = 278.3 N

Kuasa

P = (800 − 278.3)·11.39 = 5.941 kW

Jawapan

P = 5.941 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.9006 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·79522) = 0.01572 rad

φ = 0.01572·180/π = 0.9006°

Jawapan

φ = 0.9006°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 18.01 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·30/1.193 × 10⁶ = 18.01 MPa

Jawapan

τ_max = 18.01 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 13.28 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 20/22.36 = 0.8944, sin 2θ_s = −(−10)/22.36 = 0.4472

2θ_s = atan2(10, 20) = 26.57°

Sudut pada unsur

θ_s = 13.28°

semakan: θ_s − θ_p = 13.28 − 58.28 = −45°

Jawapan

θ_s = 13.28°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −15 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −5 + 65·0 + 10·−1 = −15 MPa

Jawapan

σ_θ = −15 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 36.4 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/1.099 × 10⁻⁵ = 36405 N = 36.4 kN

Jawapan

P = 36.4 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 30.73 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·439823/911062 = 38621 N

Tegasan

σ₂ = 38621/1257 = 30.73 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 30.73 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 49.35 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/5000² = 49348 N = 49.35 kN

Jawapan

P_cr = 49.35 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 157.4 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6.25 = 112

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157.4 MPa

Jawapan

σ_cr = 157.4 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.595 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(5000/15) = 18.26 rad/s

f_n = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.45²) = 2.595 Hz

Jawapan

f_d = 2.595 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 8.802 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 30 + 100 = 130 kN/m

k_eq = 130·40/(130 + 40) = 30.59 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(30588/10) = 55.31 rad/s

f_n = 55.31/(2π) = 8.802 Hz

Jawapan

f_n = 8.802 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design