Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah cacing dengan 1 permulaan berputar pada 1450 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 36 gigi. Cari laju n_w roda itu.

z = 1N_w = 36n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 160 mm dan takal 250 mm yang pusatnya berjarak 500 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 160 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 400 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 0.8 m dari A dan 2 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 0.8 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 35 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 65 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg pada spring berkekakuan 80 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 80 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 100 kN/m dan spring bawah k₂ = 40 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_w = 40.28 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 1450·1/36 = 40.28 rpm

Jawapan

n_w = 40.28 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 169.7 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.09) = 5.164°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·5.164 = 169.7°

Jawapan

θ = 169.7°

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 34.12 mm

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·75·0.6836)) = 34.12 mm

d_i = 0.75·34.12 = 25.59 mm

Jawapan

d_o = 34.12 mm

Aci pepejal memerlukan d = 30.06 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 16.84 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2/2.8 = 714.3 N·m

T_B = 1000·0.8/2.8 = 285.7 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·714286/(π·60³) = 16.84 MPa

Jawapan

τ_max = 16.84 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 64.54 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 75 MPa, R = √(45² + (−30)²) = 54.08 MPa

σ₁ = 129.1 MPa, σ₂ = 20.92 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(108.2, 129.1, 20.92)/2 = 64.54 MPa

Jawapan

τ_abs = 64.54 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 28.04 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 90 + −20·0.5 + −60·0.866 = 28.04 MPa

Jawapan

σ_θ = 28.04 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.306 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201.1 = 174.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 174.1/200000 = 0.0008704 = 870.4 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0008704·1500 mm = 1.306 mm

Jawapan

δ = 1.306 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 574.7 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 51.73 MPa

σ₂ = 574.7 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 574.7 MPa

Jawapan

σ_max = 574.7 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 102.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1000² = 102808 N = 102.8 kN

Jawapan

P_cr = 102.8 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 38.86 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7.5 = 133.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

Jawapan

σ_cr = 38.86 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 8.252 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(80000/25) = 56.57 rad/s

f_n = 56.57/(2π) = 9.003 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9.003·√(1 − 0.4²) = 8.252 Hz

Jawapan

f_d = 8.252 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.69 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28.57 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(28571/100) = 16.9 rad/s

f_n = 16.9/(2π) = 2.69 Hz

Jawapan

f_n = 2.69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design