Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah motor 7.5 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 25 gigi, yang bertaut dengan gear 45 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork T1 pada aci motor.
P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 45η = 96%
T1 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 1.5 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (48 gigi), yang bersalingan dengan gear B (80 gigi). Gear C (18 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (80 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran Tout.
P = 1.5 kWnin = 960 rpmA = 48B = 80C = 18D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 400 mm berputar 3.74° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.
T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 3.74°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
Aci berongga mesti memindahkan 10 kW pada 500 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
P = 10 kWN = 500 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.
σx = 50 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Cari tegasan setara von Mises σvM.
σx = 0 MPaσy = 50 MPaτxy = 40 MPa
σvM = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.
P = 55 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 25 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 40 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 6.1 mm. Cari nisbah redaman ζ.
x0 = 40 mmx5 = 6.1 mmn = 5
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 50 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: T1 = 74.6 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tork motor
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m
Jawapan
T1 = 74.6 N·m
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 106.1 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 960·(48/80)·(18/80) = 129.6 rpm
ωout = 2π·129.6/60 = 13.57 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 1500·0.98² = 1441 W
Tout = Pout/ωout = 1441/13.57 = 106.1 N·m
Jawapan
Tout = 106.1 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: G = 39.01 GPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen kutub dan sudut
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 3.74·π/180 = 0.06528 rad
Modulus ricih
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0.06528) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
Jawapan
G = 39.01 GPa
Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.
4.Kilasan aci
Jawapan: do = 30.53 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0.6836)) = 30.53 mm
di = 0.75·30.53 = 22.9 mm
Jawapan
do = 30.53 mm
Aci pepejal memerlukan d = 26.89 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τmax = 26.93 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Jejari bulatan Mohr
τmax = R = √(((50 − 100)/2)² + −10²) = 26.93 MPa
Jawapan
τmax = 26.93 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σvM = 85.44 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.
Tegasan utama
C = 25 MPa, R = 47.17 MPa
σ1 = 72.17 MPa, σ2 = −22.17 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(72.17² − 72.17·(−22.17) + (−22.17)²) = 85.44 MPa
Jawapan
σvM = 85.44 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 1.681 mm
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 55·1000/490.9 = 112 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 112/100000 = 0.00112 = 1120 µε
Pemanjangan
δ = ε·L = 0.00112·1500 mm = 1.681 mm
Jawapan
δ = 1.681 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 1.392 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 19.89 MPa
σ2 = 79.58 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 19.89·1500/117000 = 0.2551 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79.58·1000/70000 = 1.137 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.392 mm
Jawapan
δ = 1.392 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 225 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN
Jawapan
Pcr = 225 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 64.45 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64.45 MPa
Jawapan
σcr = 64.45 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.05975
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Penyusutan logaritma
δ = (1/5)·ln(40/6.1) = 0.3761
Nisbah redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3761/√(39.48 + 0.1415) = 0.05975
Jawapan
ζ = 0.05975
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 7.797 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 40 + 80 = 120 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(120000/50) = 48.99 rad/s
fn = 48.99/(2π) = 7.797 Hz
Jawapan
fn = 7.797 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design