Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 120 mm pada 720 rpm memacu takal 200 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 4 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 720 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 200 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 125 mm pada 1450 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 500 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0.35T₁ = 500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 12 mm dipiuh oleh tork 20 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 400 mm berputar 8.66° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 20 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 8.66°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 100 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 100 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 420 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 100 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 85 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 30 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 4.7 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 4.7 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada spring k₃ = 15 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 414.7 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

720·120/200 = 432 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 432·0.96 = 414.7 rpm

Jawapan

n₂ = 414.7 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.958 kW

Sudut lilitan

θ = 2.79 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.9764 = 2.655, T₂ = 500/2.655 = 188.3 N

Kuasa

P = (500 − 188.3)·9.49 = 2.958 kW

Jawapan

P = 2.958 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8.66·π/180 = 0.1511 rad

Modulus ricih

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(2036·0.1511) = 26000 MPa

G = 26 GPa

Jawapan

G = 26 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 81.1 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 3183 N·m = 3.183 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·40·0.7599)) = 81.1 mm

d_i = 0.7·81.1 = 56.77 mm

Jawapan

d_o = 81.1 mm

Aci pepejal memerlukan d = 74 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 36.65 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −50 − −80) = 73.3°

Sudut pada unsur

θ_p = 36.65°

Jawapan

θ_p = 36.65°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 6

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −50 MPa, R = 28.28 MPa

σ₁ = −21.72 MPa, σ₂ = −78.28 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−21.72)² − (−21.72)·(−78.28) + (−78.28)²) = 70 MPa

n = 420/70 = 6

Jawapan

n = 6

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.958 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 100·1000/314.2 = 318.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 318.3/100000 = 0.003183 = 3183 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003183·2500 mm = 7.958 mm

Jawapan

δ = 7.958 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 751.6 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 173.2 MPa

σ₂ = 751.6 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 751.6 MPa

Jawapan

σ_max = 751.6 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 116.6 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1050² = 116563 N = 116.6 kN

Jawapan

P_cr = 116.6 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.73 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 62.73 mm

Jawapan

d = 62.73 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 318.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.03003

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(10/4.7) = 0.1888

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1888/√(39.48 + 0.03563) = 0.03003

Jawapan

ζ = 0.03003

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 8 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 20 + 60 = 80 kN/m

k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12.63 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(12632/5) = 50.26 rad/s

f_n = 50.26/(2π) = 8 Hz

Jawapan

f_n = 8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design