Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 16 gigi, yang bertaut dengan gear 24 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 2.2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 24η = 98%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (16 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1440 rpm memacu gear B (24 gigi). Gear C (30 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1440 rpmA = 16B = 24C = 30D = 45

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 40 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 0.55° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 40 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.55°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 1500 N·m bertindak pada B, 0.5 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.5 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0.5 mBC = 1.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 80 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 15 mm diikuti satu kitaran kemudian oleh puncak 5.8 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 5.8 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 30 kN/m dan spring bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 7.244 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m

Jawapan

T₁ = 7.244 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 640 rpm

Peringkat pertama

n_B = 1440·16/24 = 960 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 960·30/45 = 640 rpm

Jawapan

n_out = 640 rpm

nisbah keseluruhan = 2.25 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 79.58 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0.55·π/180 = 0.009599 rad

Modulus ricih

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(15708·0.009599) = 79583 MPa

G = 79.58 GPa

Jawapan

G = 79.58 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 5.629 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 1500 = 500 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.007557 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·1500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.09069 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.007557 + 0.09069 = 0.09824 rad → |φ_C| = 5.629°

Jawapan

φ_C = 5.629°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 7.973 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 50 − −20) = 15.95°

Sudut pada unsur

θ_p = 7.973°

Jawapan

θ_p = 7.973°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 69.21 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−40·0.766 + 60·0.6428 = 69.21 MPa

Jawapan

τ_θ = 69.21 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 582.1 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/70000 = 0.0005821 = 582.1 µε

Jawapan

ε = 582.1 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 577.3 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0007273) = 0.0006 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·9.621 × 10⁸ = 577268 N = 577.3 kN

Jawapan

P_max = 577.3 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 32.13 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32.13 kN

Jawapan

P_cr = 32.13 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 35.25 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

Jawapan

σ_cr = 35.25 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1495

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/1)·ln(15/5.8) = 0.9502

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9502/√(39.48 + 0.9029) = 0.1495

Jawapan

ζ = 0.1495

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 21.82 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/80 → k_eq = 30·80/(30 + 80) = 21.82 kN/m

Jawapan

k_eq = 21.82 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design