Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 96 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 4 mm dan pengurangan laju 2 : 1. Berapakah bilangan gigi N₁ yang mesti dimiliki oleh pinion?

a = 96 mmm = 4 mmi = 2

N₁ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (48 gigi) pada aci masukan berputar pada 3000 rpm dan menggerakkan gear B (50 gigi). Gear C (48 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 1920 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 3000 rpmA = 48B = 50C = 48n_out = 1920 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 75 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 8.31° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 75 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 8.31°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 8 kg disokong oleh spring berkekakuan 80 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 80 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 8 kgk = 80 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 40 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₁ = 16

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/4 = 48

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

Jawapan

N₁ = 16

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 72

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 3000·48/50 = 2880 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 48·2880/1920 = 72

Jawapan

N_D = 72

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26.01 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 8.31·π/180 = 0.145 rad

Modulus ricih

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(4970·0.145) = 26011 MPa

G = 26.01 GPa

Jawapan

G = 26.01 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 22.99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·40)) = 22.99 mm

Jawapan

d = 22.99 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 36.18 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −50 MPa, R = √(10² + (−20)²) = 22.36 MPa

σ₁ = −27.64 MPa, σ₂ = −72.36 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44.72, 27.64, 72.36)/2 = 36.18 MPa

Jawapan

τ_abs = 36.18 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 62.52 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−90·0.766 + −10·0.6428 = 62.52 MPa

Jawapan

τ_θ = 62.52 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 140.9 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8.488 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.4/2.838 × 10⁻⁶ = 140931 N = 140.9 kN

Jawapan

P = 140.9 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 551.3 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0006364) = 0.0006 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·9.189 × 10⁸ = 551350 N = 551.3 kN

Jawapan

P_max = 551.3 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.366 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2.366 kN

Jawapan

P_cr = 2.366 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 1.919 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

Jawapan

σ_cr = 1.919 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·8) = 1600 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 80/1600 = 0.05

Jawapan

ζ = 0.05

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.847 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 80 + 80 = 160 kN/m

k_eq = 160·40/(160 + 40) = 32 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(32000/100) = 17.89 rad/s

f_n = 17.89/(2π) = 2.847 Hz

Jawapan

f_n = 2.847 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design