Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 800 N pada sisi kencang dan 400 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 800 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 150 mm pada 1440 rpm kepada takal 315 mm; pusatnya berjarak 1000 mm. Pekali geseran ialah 0.25 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 20 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 2.22° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 20 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2.22°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 10 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 50 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 20 kg disokong oleh spring berkekakuan 20 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 510 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 20 kgk = 20 kN/mc = 510 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 4.859 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 12.15 m/s

Kuasa

P = (800 − 400)·12.15 = 4859 W = 4.859 kW

Jawapan

P = 4.859 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 2.968 kW

Sudut lilitan

θ = 2.976 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.7441 = 2.105, T₂ = 500/2.105 = 237.6 N

Kuasa

P = (500 − 237.6)·11.31 = 2.968 kW

Jawapan

P = 2.968 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 25.96 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.22·π/180 = 0.03875 rad

Modulus ricih

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(4970·0.03875) = 25964 MPa

G = 25.96 GPa

Jawapan

G = 25.96 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 58.15 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58.15 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(22.11, 58.15) = 58.15 mm

Jawapan

d = 58.15 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 43.03 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −50 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36.06 MPa

σ₁ = −13.94 MPa, σ₂ = −86.06 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 13.94, 86.06)/2 = 43.03 MPa

Jawapan

τ_abs = 43.03 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 316.3 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 141.5 MPa

R = √(141.5² + 282.9²) = 316.3 MPa

Jawapan

τ_max = 316.3 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 954.9 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε

Jawapan

ε = 954.9 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.759 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 49.51 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 49.51·1500/200000 = 0.3714 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111.4·1500/70000 = 2.387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.759 mm

Jawapan

δ = 2.759 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 10.15 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3500² = 10152 N = 10.15 kN

Jawapan

P_cr = 10.15 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 73.32 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 73.32 mm

Jawapan

d = 73.32 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 152.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.4032

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·20) = 1265 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 510/1265 = 0.4032

Jawapan

ζ = 0.4032

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 10.61 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/100 → k_eq = 80·100/(80 + 100) = 44.44 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(44444/10) = 66.67 rad/s

f_n = 66.67/(2π) = 10.61 Hz

Jawapan

f_n = 10.61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design