Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Dua aci selari berjarak 67.5 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 2.5 mm dan pengurangan laju 2 : 1. Berapakah bilangan gigi N2 yang mesti dimiliki oleh gear?
a = 67.5 mmm = 2.5 mmi = 2
N2 =
2.Gear & rangkaian gearSukar
Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (20 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 960 rpm memacu gear B (48 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.
nin = 960 rpmA = 20B = 48C = 18D = 45
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
Aci loyang pepejal 1.5 m panjang membawa tork 750 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.
T = 750 N·mL = 1.5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Kilasan aciSukar
Aci berongga mesti memindahkan 50 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
P = 50 kWN = 300 rpmdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.
σx = 10 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 420 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).
σx = 130 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaσY = 420 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.
P = 100 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.
segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 35 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.
P = 35 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 2 kg pada spring berkekakuan 25 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 2 kgk = 25 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 40 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 20 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.
m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: N2 = 36
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Jumlah bilangan gigi
N1 + N2 = 2a/m = 2·67.5/2.5 = 54
Bahagikan mengikut nisbah
N1 = 54/(1 + 2) = 18
N2 = 2·18 = 36
Jawapan
N2 = 36
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nout = 160 rpm
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Peringkat pertama
nB = 960·20/48 = 400 rpm = nC
Peringkat kedua
nout = 400·18/45 = 160 rpm
Jawapan
nout = 160 rpm
nisbah keseluruhan = 6 : 1
3.Kilasan aci
Jawapan: d = 48.67 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen kutub yang diperlukan
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(39000·0.05236) = 550921 mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 48.67 mm
Jawapan
d = 48.67 mm
Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.
4.Kilasan aci
Jawapan: do = 56.23 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan
T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·60·0.7599)) = 56.23 mm
di = 0.7·56.23 = 39.36 mm
Jawapan
do = 56.23 mm
Aci pepejal memerlukan d = 51.31 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τmax = 42.72 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Jejari bulatan Mohr
τmax = R = √(((10 − 40)/2)² + 40²) = 42.72 MPa
Jawapan
τmax = 42.72 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: n = 2.871
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.
Tegasan utama
C = 115 MPa, R = 52.2 MPa
σ1 = 167.2 MPa, σ2 = 62.8 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(167.2² − 167.2·62.8 + 62.8²) = 146.3 MPa
n = 420/146.3 = 2.871
Jawapan
n = 2.871
n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 0.05642 mm
Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.
Luas
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
Kekakuan paksi gabungan
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N
Pemendekan
δ = 100000·300/5.317 × 10⁸ = 0.05642 mm
Jawapan
δ = 0.05642 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: σ2 = 85.15 MPa
Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.
Kekakuan
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm
Bahagian segmen 2
F2 = 100000·247400/411025 = 60191 N
Tegasan
σ2 = 60191/706.9 = 85.15 MPa (mampatan)
Jawapan
σ2 = 85.15 MPa
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 154.3 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·3000 = 3000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN
Jawapan
Pcr = 154.3 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: d = 72.66 mm
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Beban kritikal yang diperlukan
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.66 mm
Jawapan
d = 72.66 mm
Semak: kelangsingan KL/r ialah 165.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 15.41 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(25000/2) = 111.8 rad/s
fn = 111.8/(2π) = 17.79 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 17.79·√(1 − 0.5²) = 15.41 Hz
Jawapan
fd = 15.41 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: keq = 50 kN/m
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 30 + 20 = 50 kN/m
Jawapan
keq = 50 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design