Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 1.5 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 25 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 1.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 25η = 96%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 80 mm pada 2880 rpm kepada takal 315 mm; pusatnya berjarak 1000 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.35T₁ = 1500 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 20 kW pada 1450 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa momen lentur 200 N·m bersama-sama dengan tork 250 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmM = 200 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 20 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 5 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 40 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 5 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 40 kN/m dan spring bawah k₂ = 5 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 9.549 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m

Jawapan

T₁ = 9.549 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 11.55 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.906 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^1.017 = 2.765, T₂ = 1500/2.765 = 542.5 N

Kuasa

P = (1500 − 542.5)·12.06 = 11.55 kW

Jawapan

P = 11.55 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.694 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·613592) = 0.04701 rad

φ = 0.04701·180/π = 2.694°

Jawapan

φ = 2.694°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 31.31 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 131.7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·50)) = 23.76 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31.31 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(23.76, 31.31) = 31.31 mm

Jawapan

d = 31.31 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 50 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 70 MPa, R = √(0² + 30²) = 30 MPa

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 40 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60, 100, 40)/2 = 50 MPa

Jawapan

τ_abs = 50 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 21.19 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·50³) = 16.3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10.19 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 8.149 MPa

R = √(8.149² + 10.19²) = 13.04 MPa

σ₁ = C + R = 21.19 MPa

σ₂ = C − R = −4.896 MPa

Jawapan

σ₁ = 21.19 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.4547 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/70000 = 0.0009095 = 909.5 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0009095·500 mm = 0.4547 mm

Jawapan

δ = 0.4547 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 76.22 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·706.9/300 = 259181 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·259181/384845 = 53878 N

Tegasan

σ₂ = 53878/706.9 = 76.22 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 76.22 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 41.78 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2100² = 41776 N = 41.78 kN

Jawapan

P_cr = 41.78 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 69.09 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

Jawapan

σ_cr = 69.09 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07303

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·15) = 547.7 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 40/547.7 = 0.07303

Jawapan

ζ = 0.07303

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 4.444 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/5 → k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4.444 kN/m

Jawapan

k_eq = 4.444 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design