Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 125 mm pada 2880 rpm memacu takal 250 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 250 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 16 gigi dan setiap gear planet mempunyai 12 gigi. Pembawa planet ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 1440 rpm. Cari laju n_r gear anulus (magnitud).

N_s = 16N_p = 12n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 75 kW pada 3000 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa daya mampatan paksi 60 kN bersama-sama dengan tork 250 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmF = −60 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 10 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 100 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 12 kg pada spring berkekakuan 4 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 12 kgk = 4 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 25 kN/m dan spring bawah k₂ = 30 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 1426 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

2880·125/250 = 1440 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 1440·0.99 = 1426 rpm

Jawapan

n₂ = 1426 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_r = 576 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

Persamaan Willis dengan pembawa tetap

Dengan n_c = 0 gear suria menggerakkan anulus melalui planet, yang bertindak sebagai gear perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·16/40 = −576 rpm

|n_r| = 576 rpm

Jawapan

n_r = 576 rpm

Anulus berputar berlawanan dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.28 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·251327) = 0.03979 rad

φ = 0.03979·180/π = 2.28°

Jawapan

φ = 2.28°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 27.73 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 238.7 N·m = 238732 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·238732/(π·75·0.7599)) = 27.73 mm

d_i = 0.7·27.73 = 19.41 mm

Jawapan

d_o = 27.73 mm

Aci pepejal memerlukan d = 25.31 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 75.66 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((80 − −70)/2)² + 10²) = 75.66 MPa

Jawapan

τ_max = 75.66 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 21 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −60000/(π·30²/4) = −60000/706.9 = −84.88 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −42.44 MPa

R = √((−42.44)² + 47.16²) = 63.44 MPa

σ₁ = C + R = 21 MPa

σ₂ = C − R = −105.9 MPa

Jawapan

σ₁ = 21 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.4353 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 20.37/117000 = 0.0001741 = 174.1 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0001741·2500 mm = 0.4353 mm

Jawapan

δ = 0.4353 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.988 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 203.7 MPa

σ₂ = 497.4 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203.7·1500/117000 = 2.612 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497.4·1500/117000 = 6.376 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.988 mm

Jawapan

δ = 8.988 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.112 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/5000² = 4112 N = 4.112 kN

Jawapan

P_cr = 4.112 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 19.83 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/15 = 186.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa

Jawapan

σ_cr = 19.83 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.595 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(4000/12) = 18.26 rad/s

f_n = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.45²) = 2.595 Hz

Jawapan

f_d = 2.595 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.156 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/30 → k_eq = 25·30/(25 + 30) = 13.64 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(13636/20) = 26.11 rad/s

f_n = 26.11/(2π) = 4.156 Hz

Jawapan

f_n = 4.156 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design