Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Dua aci selari berjarak 187.5 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 2.5 mm dan pengurangan laju 5 : 1. Berapakah bilangan gigi N₁ yang mesti dimiliki oleh pinion?

a = 187.5 mmm = 2.5 mmi = 5

N₁ =

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 200 mm dan takal 400 mm yang pusatnya berjarak 800 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 200 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 50 kW pada 300 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.75° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 600 mm dan ketebalan dinding 10 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 3 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 55° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 600 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 40 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 4.7 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 4.7 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 30 kN/m dan spring bawah k₂ = 10 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah bilangan gigi

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·187.5/2.5 = 150

Bahagikan mengikut nisbah

N₁ = 150/(1 + 5) = 25

Jawapan

N₁ = 25

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 165.6 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.125) = 7.181°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·7.181 = 165.6°

Jawapan

θ = 165.6°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 16.63 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·79522) = 0.2902 rad

φ = 0.2902·180/π = 16.63°

Jawapan

φ = 16.63°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 62.73 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1.592 × 10⁶/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 62.73 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(46.62, 62.73) = 62.73 mm

Jawapan

d = 62.73 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 28.15 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/54.08 = 0.5547, sin 2θ_s = −(−45)/54.08 = 0.8321

2θ_s = atan2(45, 30) = 56.31°

Sudut pada unsur

θ_s = 28.15°

semakan: θ_s − θ_p = 28.15 − 73.15 = −45°

Jawapan

θ_s = 28.15°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 59.8 MPa

Tegasan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 3·300/10 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 45·sin²55° + 90·cos²55° = 59.8 MPa

Jawapan

σ_n = 59.8 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 45.81 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1.455 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/6.548 × 10⁻⁶ = 45815 N = 45.81 kN

Jawapan

P = 45.81 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 198.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 81.49 MPa

σ₂ = 198.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 198.9 MPa

Jawapan

σ_max = 198.9 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.312 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/8000² = 3312 N = 3.312 kN

Jawapan

P_cr = 3.312 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 21.93 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

Jawapan

σ_cr = 21.93 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.04967

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(12/4.7) = 0.3124

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3124/√(39.48 + 0.09762) = 0.04967

Jawapan

ζ = 0.04967

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 7.5 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/10 → k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7.5 kN/m

Jawapan

k_eq = 7.5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design