Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 120 mm pada 960 rpm memacu takal 250 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 250 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (72 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1440 rpm memacu gear B (80 gigi). Gear C (16 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1440 rpmA = 72B = 80C = 16D = 45

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 35 mm, panjang 0.8 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 250 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 25 mm terikat pada A. Tork 1500 N·m bertindak pada B, 0.5 m dari A, dan tork 750 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 0.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 25 mmT_B = 1500 N·mT_C = 750 N·mAB = 0.5 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 150 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 50 kg pada spring berkekakuan 12 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 12 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 12 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 451.6 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

960·120/250 = 460.8 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 460.8·0.98 = 451.6 rpm

Jawapan

n₂ = 451.6 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 460.8 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1440·72/80 = 1296 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1296·16/45 = 460.8 rpm

Jawapan

n_out = 460.8 rpm

nisbah keseluruhan = 3.125 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.3072 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sudut piuhan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·800/(80000·466269) = 0.005362 rad

φ = 0.005362·180/π = 0.3072°

Jawapan

φ = 0.3072°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 244.5 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 1500 = −750 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa

Jawapan

τ_max = 244.5 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 103.9 MPa

Jejari yang diperlukan

C = (−30 + 90)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 30 = 120 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 60²) = 103.9 MPa

Jawapan

τ_xy = 103.9 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 87.18 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 35 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 81.1 MPa, σ₂ = −11.1 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(81.1² − 81.1·(−11.1) + (−11.1)²) = 87.18 MPa

Jawapan

σ_vM = 87.18 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 5441 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 50·1000/78.54 = 636.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 636.6/117000 = 0.005441 = 5441 µε

Jawapan

ε = 5441 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.143 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 173.2 MPa

σ₂ = 270.6 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173.2·2000/200000 = 1.732 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270.6·2000/100000 = 5.411 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.143 mm

Jawapan

δ = 7.143 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 49.44 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49.44 kN

Jawapan

P_cr = 49.44 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 34.27 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

Jawapan

σ_cr = 34.27 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.352 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(12000/50) = 15.49 rad/s

f_n = 15.49/(2π) = 2.466 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.466·√(1 − 0.3²) = 2.352 Hz

Jawapan

f_d = 2.352 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 1.652 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 25 + 80 = 105 kN/m

k_eq = 105·12/(105 + 12) = 10.77 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(10769/100) = 10.38 rad/s

f_n = 10.38/(2π) = 1.652 Hz

Jawapan

f_n = 1.652 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design