Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berjalan pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 2 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 2.2 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (18 gigi) pada aci masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan gear B (50 gigi). Gear C (20 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 172.8 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 50C = 20n_out = 172.8 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 20 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 80 MPa dan σᵧ = 30 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 100 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 460 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.5 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 80 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 5 kitaran kemudian oleh puncak 1 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 1 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 100 kN/m dan spring bawah k₂ = 10 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 1368 N

Geometri gear: modul m menentukan saiz gigi. Gear dengan N gigi mempunyai diameter pic d = m·N, dua gear yang bersalingan mempunyai modul yang sama, dan jarak pusatnya ialah a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Laju garis pic ialah v = π·d·n/60, dan daya tangen gigi diperoleh daripada tork: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 2200/100.5 = 21.88 N·m

Diameter pic

d = m·N = 2·16 = 32 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·21.88/0.032 = 1368 N

Jawapan

F_t = 1368 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 40

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 960·18/50 = 345.6 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 20·345.6/172.8 = 40

Jawapan

N_D = 40

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 10.39 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·79522) = 0.1814 rad

φ = 0.1814·180/π = 10.39°

Jawapan

φ = 10.39°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 5 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·40/3.056 × 10⁶ = 5 MPa

Jawapan

τ_max = 5 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 37.42 MPa

Jejari yang diperlukan

C = (80 + 30)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 55 = 45 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37.42 MPa

Jawapan

τ_xy = 37.42 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.909

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 105 MPa, R = 53.15 MPa

σ₁ = 158.2 MPa, σ₂ = 51.85 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 158.2 MPa

n = 460/158.2 = 2.909

Jawapan

n = 2.909

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 30.83 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706.9) = 1.011 × 10⁻⁵ mm/N

Beban

P = 0.5/1.622 × 10⁻⁵ = 30833 N = 30.83 kN

Jawapan

P = 30.83 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 18.76 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·194386/439823 = 13259 N

Tegasan

σ₂ = 13259/706.9 = 18.76 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 18.76 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.159 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/5000² = 2159 N = 2.159 kN

Jawapan

P_cr = 2.159 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.73 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 62.73 mm

Jawapan

d = 62.73 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 159.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07885

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/5)·ln(12/1) = 0.497

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.497/√(39.48 + 0.247) = 0.07885

Jawapan

ζ = 0.07885

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.146 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9.091 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(9091/50) = 13.48 rad/s

f_n = 13.48/(2π) = 2.146 Hz

Jawapan

f_n = 2.146 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design