Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 960 rpm memacu pinion 12 gigi, yang bertaut dengan gear 48 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 48η = 98%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 15 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (36 gigi). Gear C (36 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 15 kWn_in = 1440 rpmA = 15B = 36C = 36D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 3 m panjang membawa tork 100 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 100 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 800 mm dan ketebalan dinding 8 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 50° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 800 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 15 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg disokong oleh spring berkekakuan 50 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 220 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 25 kgk = 50 kN/mc = 220 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 109.4 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m

Jawapan

T₁ = 109.4 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 449.2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 1440·(15/36)·(36/72) = 300 rpm

ω_out = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 15000·0.97² = 14114 W

T_out = P_out/ω_out = 14114/31.42 = 449.2 N·m

Jawapan

T_out = 449.2 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 32.34 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·3000/(80000·0.03491) = 107430 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 32.34 mm

Jawapan

d = 32.34 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 12.8 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7.46 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·50/7.46 × 10⁶ = 12.8 MPa

Jawapan

τ_max = 12.8 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 20.62 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−20 − −30)/2)² + 20²) = 20.62 MPa

Jawapan

τ_max = 20.62 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 24.62 MPa

Tegasan dinding

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/8 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (100 − 50)·sin 50°·cos 50° = 24.62 MPa

Jawapan

|τ_n| = 24.62 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.5934 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·800/4.045 × 10⁸ = 0.5934 mm

Jawapan

δ = 0.5934 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 14.12 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·175929/594808 = 17746 N

Tegasan

σ₂ = 17746/1257 = 14.12 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 14.12 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 27.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

Jawapan

P_cr = 27.56 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 45.86 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 45.86 mm

Jawapan

d = 45.86 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 174.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.09839

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·25) = 2236 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 220/2236 = 0.09839

Jawapan

ζ = 0.09839

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.009 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 30 = 130 kN/m

k_eq = 130·80/(130 + 80) = 49.52 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(49524/50) = 31.47 rad/s

f_n = 31.47/(2π) = 5.009 Hz

Jawapan

f_n = 5.009 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design