Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 120 mmd2​ = 450 mm960 rpmn2​ = ?

Takal 120 mm pada 960 rpm memacu takal 450 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2 %. Cari laju n2 takal yang dipacu.

n1 = 960 rpmd1 = 120 mmd2 = 450 mms = 2 %
n2 = rpm
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 15B = 25C = 15D = 50

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (15 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 3000 rpm memacu gear B (25 gigi). Gear C (15 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.

nin = 3000 rpmA = 15B = 25C = 15D = 50
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
do​ = 30, di​ = 23 mmT = 100 N·mL = 2 m

Aci aluminium berongga (diameter luar 30 mm, diameter dalam 23 mm, panjang 2 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 100 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 100 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 25 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1 mb = 2.5 m

Aci aluminium pepejal berdiameter 25 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 2000 N·m dikenakan pada C, 1 m dari A dan 2.5 m dari B. Cari tork tindak balas TA pada dinding A.

d = 25 mmT0 = 2000 N·ma = 1 mb = 2.5 m
TA = N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 130σy​ = 60MPaτxy​ = ?

Satu titik mempunyai σₓ = 130 MPa dan σᵧ = 60 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τxy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 140 MPa?

σx = 130 MPaσy = 60 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​τxy​permukaan atas aci

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 750 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 750 N·m
τmax = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 12 mmKeluli3 mP = 75 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø40110 GPaØ100/60800 mm

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2.5 m40 × 100 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 3 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 50 kN/mζ = 0.5m = 80 kg

Jisim 80 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 50k2​ = 30m = 40 kg

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk1 = 50 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n2 = 250.9 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

960·120/450 = 256 rpm

Dengan gelinciran

n2 = 256·0.98 = 250.9 rpm

Jawapan

n2 = 250.9 rpm
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: nout = 540 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

nB = 3000·15/25 = 1800 rpm = nC

Peringkat kedua

nout = 1800·15/50 = 540 rpm

Jawapan

nout = 540 rpm

nisbah keseluruhan = 5.556 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 8.468 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Sudut piuhan

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·2000/(26000·52048) = 0.1478 rad
φ = 0.1478·180/π = 8.468°

Jawapan

φ = 8.468°
4.Kilasan aci

Jawapan: TA = 1429 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2.5/3.5 = 1429 N·m
TB = 2000·1/3.5 = 571.4 N·m

Jawapan

TA = 1429 N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τxy = 28.28 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (130 + 60)/2 = 95 MPa
R = σ1 − C = 140 − 95 = 45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegasan ricih

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 35²) = 28.28 MPa

Jawapan

τxy = 28.28 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 64.28 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47.75 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa
στxyCτmax​

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 23.87 MPa
R = √(23.87² + 59.68²) = 64.28 MPa

Jawapan

τmax = 64.28 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 9.947 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 663.1/200000 = 0.003316 = 3316 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003316·3000 mm = 9.947 mm

Jawapan

δ = 9.947 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 482.5 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0006364) = 0.0006 (keluli)

Beban terbesar

Pmax = 0.0006·8.042 × 10⁸ = 482549 N = 482.5 kN

Jawapan

Pmax = 482.5 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 343.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1750² = 343758 N = 343.8 kN

Jawapan

Pcr = 343.8 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 69.94 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12.5 = 168

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69.94 MPa

Jawapan

σcr = 69.94 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 3.446 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(50000/80) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3.979 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.5²) = 3.446 Hz

Jawapan

fd = 3.446 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 7.118 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.

keq = 50 + 30 = 80 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(80000/40) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

Jawapan

fn = 7.118 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design