Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah motor 7.5 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 15 gigi, yang bertaut dengan gear 16 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.
P = 7.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 15N2 = 16η = 95%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 20 gigi dan setiap gear planet mempunyai 20 gigi. Gear anulus ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 1800 rpm. Cari laju nc pembawa planet.
Ns = 20Np = 20ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.Kilasan aciSederhana
Aci berongga mesti membawa tork 500 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
T = 500 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 1.2 m dari A dan 3 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci.
d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 1.2 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
σx = 80 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 40° lawan arah jam dari paksi-x.
σx = −70 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.
P = 100 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.
P = 80 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 8 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.7. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 15 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: T2 = 25.03 N·m
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tork motor
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m
Tork keluaran
T2 = 24.7·16/15·0.95 = 25.03 N·m
Jawapan
T2 = 25.03 N·m
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nc = 450 rpm
Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.
Gigi gear anulus
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·20 = 60
Persamaan Willis dengan anulus tetap
Tetapkan nr = 0 dan selesaikan untuk laju pembawa.
(1800 − nc)/(0 − nc) = −60/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·20/80 = 450 rpm
Jawapan
nc = 450 rpm
Pembawa berputar dalam arah yang sama dengan gear suria.
3.Kilasan aci
Jawapan: do = 40.62 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0.7599)) = 40.62 mm
di = 0.7·40.62 = 28.43 mm
Jawapan
do = 40.62 mm
Aci pepejal memerlukan d = 37.07 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
4.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 29.1 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).
Keseimbangan dan keserasian
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·3/4.2 = 714.3 N·m
TB = 1000·1.2/4.2 = 285.7 N·m
Tegasan ricih maksimum
Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).
τmax = 16·714286/(π·50³) = 29.1 MPa
Jawapan
τmax = 29.1 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: θp = 25.1 °
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan
Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
2θp = atan2(2·60, 80 − −20) = 50.19°
Sudut pada unsur
θp = 25.1°
Jawapan
θp = 25.1°
Sudut positif ialah lawan arah jam.
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σθ = 28.2 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Persamaan transformasi
σθ = 25 + −95·0.1736 + 20·0.9848 = 28.2 MPa
Jawapan
σθ = 28.2 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 1.061 mm
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/706.9 = 141.5 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 141.5/200000 = 0.0007074 = 707.4 µε
Pemanjangan
δ = ε·L = 0.0007074·1500 mm = 1.061 mm
Jawapan
δ = 1.061 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: σmax = 254.6 MPa
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 254.6 MPa
Tegasan terbesar
Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.
σmax = 254.6 MPa
Jawapan
σmax = 254.6 MPa
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 3.312 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·2000 = 2000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3.312 kN
Jawapan
Pcr = 3.312 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 8.567 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
Jawapan
σcr = 8.567 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 17.97 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(200000/8) = 158.1 rad/s
fn = 158.1/(2π) = 25.16 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 25.16·√(1 − 0.7²) = 17.97 Hz
Jawapan
fd = 17.97 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 2.615 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 12 + 15 = 27 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(27000/100) = 16.43 rad/s
fn = 16.43/(2π) = 2.615 Hz
Jawapan
fn = 2.615 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design