Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 48 gigi, yang bertaut dengan gear 80 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 48N₂ = 80η = 100%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 16 gigi dan setiap gear planet mempunyai 12 gigi. Pembawa planet ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 600 rpm. Cari laju n_r gear anulus (magnitud).

N_s = 16N_p = 12n_s = 600 rpm

n_r = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 750 N·m dikenakan pada C, 3 m dari A dan 2.5 m dari B. Cari sudut putaran φ_C keratan C, dalam darjah.

d = 60 mmT₀ = 750 N·ma = 3 mb = 2.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 250 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 90 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 145 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg disokong oleh spring berkekakuan 10 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 200 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 25 kgk = 10 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 25 kN/m dan spring bawah k₂ = 10 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 23.34 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

Tork keluaran

T₂ = 14.01·80/48·1 = 23.34 N·m

Jawapan

T₂ = 23.34 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_r = 240 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

Persamaan Willis dengan pembawa tetap

Dengan n_c = 0 gear suria menggerakkan anulus melalui planet, yang bertindak sebagai gear perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·16/40 = −240 rpm

|n_r| = 240 rpm

Jawapan

n_r = 240 rpm

Anulus berputar berlawanan dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.245 °

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(26000·613592) = 0.03918 rad

φ = 0.03918·180/π = 2.245°

Jawapan

φ = 2.245°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 0.5757 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2.5/5.5 = 340.9 N·m

T_B = 750·3/5.5 = 409.1 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa T_A.

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 340909·3000/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01005 rad = 0.5757°

Jawapan

φ_C = 0.5757°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −31.72 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −30 − −70) = −63.43°

Sudut pada unsur

θ_p = −31.72°

Jawapan

θ_p = −31.72°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.735

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 55 MPa, R = 36.4 MPa

σ₁ = 91.4 MPa, σ₂ = 18.6 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 91.4 MPa

n = 250/91.4 = 2.735

Jawapan

n = 2.735

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.0552 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·4006 = 5.435 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·300/5.435 × 10⁸ = 0.0552 mm

Jawapan

δ = 0.0552 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.562 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 91.67 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91.67·2000/117000 = 1.567 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397.9·500/200000 = 0.9947 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.562 mm

Jawapan

δ = 2.562 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 19.62 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19.62 kN

Jawapan

P_cr = 19.62 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 60.89 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 60.89 mm

Jawapan

d = 60.89 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 115, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.2

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·25) = 1000 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 200/1000 = 0.2

Jawapan

ζ = 0.2

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 6.015 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/10 → k_eq = 25·10/(25 + 10) = 7.143 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(7143/5) = 37.8 rad/s

f_n = 37.8/(2π) = 6.015 Hz

Jawapan

f_n = 6.015 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design