Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 160 mmd2​ = 300 mm720 rpmT1​ = 400 NT2​ = 120 NP = ?

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 160 mm pada 720 rpm. Tegangannya ialah 400 N pada sisi kencang dan 120 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d1 = 160 mmn1 = 720 rpmT1 = 400 NT2 = 120 N
P = kW
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 100 mmd2​ = 200 mm960 rpmC = 600 mmT1​ = 500 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 100 mm pada 960 rpm kepada takal 200 mm; pusatnya berjarak 600 mm. Pekali geseran ialah 0.35 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 500 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 100 mmn1 = 960 rpmd2 = 200 mmC = 600 mmμ = 0.35T1 = 500 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
d = 20 mmT = 50 N·m250 mmφ = 1.17°

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 50 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 1.17° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 50 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1.17°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
d = 40 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 2000 N·mABC2 m1.2 m

Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 100 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 1.2 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci.

d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 2000 N·mAB = 2 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −40σy​ = −20τxy​ = −40MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa, dengan σz = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τabs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σx = −40 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −10σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σx = −10 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 30 mmKuprum3 mP = 15 kN

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 15 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
60 kN12500 mm200 mmØ20Ø40σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m40 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 125 kNL = 5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 125 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 200 kN/mζ = 0.45m = 15 kg

Jisim 15 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.45. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 5k2​ = 10k3​ = 50m = 40 kg

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 50 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 10 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 1.689 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 6.032 m/s

Kuasa

P = (400 − 120)·6.032 = 1689 W = 1.689 kW

Jawapan

P = 1.689 kW
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 1.626 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.975 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e1.041 = 2.832, T₂ = 500/2.832 = 176.5 N

Kuasa

P = (500 − 176.5)·5.027 = 1.626 kW

Jawapan

P = 1.626 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: G = 38.97 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.17·π/180 = 0.02042 rad

Modulus ricih

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(15708·0.02042) = 38970 MPa
G = 38.97 GPa

Jawapan

G = 38.97 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 167.1 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork dalaman

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC + TB = 2000 + 100 = 2100 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|max = 2100 N·m
τmax = 16·2.1 × 10⁶/(π·40³) = 167.1 MPa

Jawapan

τmax = 167.1 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τabs = 41.23 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σmax − σmin)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama dalam satah

C = −30 MPa, R = √((−10)² + (−40)²) = 41.23 MPa
σ1 = 11.23 MPa, σ2 = −71.23 MPa, σz = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(82.46, 11.23, 71.23)/2 = 41.23 MPa

Jawapan

τabs = 41.23 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 4.184

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = −40 MPa, R = 42.43 MPa
σ1 = 2.426 MPa, σ2 = −82.43 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 84.85 MPa
n = 355/84.85 = 4.184

Jawapan

n = 4.184

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.5441 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 21.22/117000 = 0.0001814 = 181.4 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0001814·3000 mm = 0.5441 mm

Jawapan

δ = 0.5441 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 37.14 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 60000·439823/565487 = 46667 N

Tegasan

σ2 = 46667/1257 = 37.14 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 37.14 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 157.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157.9 kN

Jawapan

Pcr = 157.9 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 97.48 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 97.48 mm

Jawapan

d = 97.48 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 143.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 16.41 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(200000/15) = 115.5 rad/s
fn = 115.5/(2π) = 18.38 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 18.38·√(1 − 0.45²) = 16.41 Hz

Jawapan

fd = 16.41 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 2.703 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 5 + 10 = 15 kN/m
keq = 15·50/(15 + 50) = 11.54 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(11538/40) = 16.98 rad/s
fn = 16.98/(2π) = 2.703 Hz

Jawapan

fn = 2.703 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design