Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 18 gigi, yang bertaut dengan gear 45 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 45η = 100%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (45 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (48 gigi). Gear C (12 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (25 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 48C = 12D = 25

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 50 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 95 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 50 kg pada spring berkekakuan 15 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.6. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 15 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 20 kg tergantung pada spring k₃ = 5 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 25.46 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157.1 = 25.46 N·m

Jawapan

T₁ = 25.46 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 675 rpm

Peringkat pertama

n_B = 1500·45/48 = 1406 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1406·12/25 = 675 rpm

Jawapan

n_out = 675 rpm

nisbah keseluruhan = 2.222 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.8 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·15708) = 0.3979 rad

φ = 0.3979·180/π = 22.8°

Jawapan

φ = 22.8°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 61.9 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50·0.6836)) = 61.9 mm

d_i = 0.75·61.9 = 46.42 mm

Jawapan

d_o = 61.9 mm

Aci pepejal memerlukan d = 54.53 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 80.01 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 10 − 120) = 160°

Sudut pada unsur

θ_p = 80.01°

Jawapan

θ_p = 80.01°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −110 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −110·1 + 10·0 = −110 MPa

Jawapan

τ_θ = −110 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 19.1 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.2/1.047 × 10⁻⁵ = 19100 N = 19.1 kN

Jawapan

P = 19.1 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 302.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 193.5 MPa

σ₂ = 302.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 302.4 MPa

Jawapan

σ_max = 302.4 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 37.85 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN

Jawapan

P_cr = 37.85 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 87.73 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa

Jawapan

σ_cr = 87.73 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.205 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(15000/50) = 17.32 rad/s

f_n = 17.32/(2π) = 2.757 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.757·√(1 − 0.6²) = 2.205 Hz

Jawapan

f_d = 2.205 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.437 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·5/(75 + 5) = 4.688 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4688/20) = 15.31 rad/s

f_n = 15.31/(2π) = 2.437 Hz

Jawapan

f_n = 2.437 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design