Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm. Tegangannya ialah 600 N pada sisi kencang dan 300 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 80 mm dan takal 400 mm yang pusatnya berjarak 800 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 80 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 0.8 m; segmen BC berdiameter 60 mm dan panjang 0.5 m. Tork 2000 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 2000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 60 mm, L₂ = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 5 kW pada 3000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 350 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 75 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 80 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 80 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 880 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 80 kN/mc = 880 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 100 kN/m dan spring bawah k₂ = 25 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 3.416 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 11.39 m/s

Kuasa

P = (600 − 300)·11.39 = 3416 W = 3.416 kW

Jawapan

P = 3.416 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 156.9 °

Sudut tali sawat

asin(0.2) = 11.54°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·11.54 = 156.9°

Jawapan

θ = 156.9°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 0.9318 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·800/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.006439 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.009824 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.006439 + 0.009824 = 0.01626 rad = 0.9318°

Jawapan

φ_C = 0.9318°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 12.65 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·40)) = 12.65 mm

Jawapan

d = 12.65 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −34.1 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 20/53.85 = 0.3714, sin 2θ_s = −50/53.85 = −0.9285

2θ_s = atan2(−50, 20) = −68.2°

Sudut pada unsur

θ_s = −34.1°

semakan: θ_s − θ_p = −34.1 − 10.9 = −45°

Jawapan

θ_s = −34.1°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 4.276

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 5 MPa, R = 47.17 MPa

σ₁ = 52.17 MPa, σ₂ = −42.17 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(52.17² − 52.17·(−42.17) + (−42.17)²) = 81.85 MPa

n = 350/81.85 = 4.276

Jawapan

n = 4.276

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.081 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314.2 = 238.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 238.7/117000 = 0.00204 = 2040 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00204·2000 mm = 4.081 mm

Jawapan

δ = 4.081 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 397.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 113.2 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 397.9 MPa

Jawapan

σ_max = 397.9 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 5.712 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN

Jawapan

P_cr = 5.712 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 6.294 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/7.5 = 560

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa

Jawapan

σ_cr = 6.294 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.4017

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·15) = 2191 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 880/2191 = 0.4017

Jawapan

ζ = 0.4017

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.559 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/25 → k_eq = 100·25/(100 + 25) = 20 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(20000/40) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

Jawapan

f_n = 3.559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design