Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 30 gigi, yang bertaut dengan gear 45 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 45η = 97%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam set gear planet, gear suria mempunyai 24 gigi dan setiap gear planet mempunyai 24 gigi. Pembawa planet ditahan tetap dan gear suria digerakkan pada 900 rpm. Cari laju n_r gear anulus (magnitud).

N_s = 24N_p = 24n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal memindahkan 30 kW pada 500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 20 MPa dan σᵧ = 50 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 75 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 100 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 250 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 250 kgk = 200 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 20 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 138.9 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m

Tork keluaran

T₂ = 95.49·45/30·0.97 = 138.9 N·m

Jawapan

T₂ = 138.9 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_r = 300 rpm

Set gear planet: laju gear suria, anulus dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set itu ialah susunan gear biasa dengan planet sebagai gear perantara. Menahan satu ahli tetap menjadikan set itu pengurang nisbah tunggal.

Gigi gear anulus

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·24 = 72

Persamaan Willis dengan pembawa tetap

Dengan n_c = 0 gear suria menggerakkan anulus melalui planet, yang bertindak sebagai gear perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·24/72 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

Jawapan

n_r = 300 rpm

Anulus berputar berlawanan dengan gear suria.

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.789 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·38350) = 0.08358 rad

φ = 0.08358·180/π = 4.789°

Jawapan

φ = 4.789°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 54.11 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41.78 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 54.11 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(41.78, 54.11) = 54.11 mm

Jawapan

d = 54.11 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 37.08 MPa

Jejari yang diperlukan

C = (20 + 50)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 35 = 40 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37.08 MPa

Jawapan

τ_xy = 37.08 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 160 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 10 MPa, R = 92.2 MPa

σ₁ = 102.2 MPa, σ₂ = −82.2 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(102.2² − 102.2·(−82.2) + (−82.2)²) = 160 MPa

Jawapan

σ_vM = 160 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.6046 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706.9 = 141.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 141.5/117000 = 0.001209 = 1209 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001209·500 mm = 0.6046 mm

Jawapan

δ = 0.6046 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.099 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 67.56 MPa

σ₂ = 323.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67.56·1500/117000 = 0.8661 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323.3·1000/100000 = 3.233 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.099 mm

Jawapan

δ = 4.099 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 29.24 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1500² = 29243 N = 29.24 kN

Jawapan

P_cr = 29.24 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 15.67 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa

Jawapan

σ_cr = 15.67 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 4.126 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/250) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.4²) = 4.126 Hz

Jawapan

f_d = 4.126 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 25 + 50 = 75 kN/m

k_eq = 75·20/(75 + 20) = 15.79 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(15789/25) = 25.13 rad/s

f_n = 25.13/(2π) = 4 Hz

Jawapan

f_n = 4 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design