Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 200 mm pada 2880 rpm memacu takal 250 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 4 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 250 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (25 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (48 gigi). Gear C (18 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 25B = 48C = 18D = 72

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 25 mm terikat pada A. Tork 200 N·m bertindak pada B, 1.2 m dari A, dan tork 250 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 25 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa daya tegangan paksi 200 kN bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmF = 200 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 25 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 12 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 2212 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

2880·200/250 = 2304 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 2304·0.96 = 2212 rpm

Jawapan

n₂ = 2212 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 195.3 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1500·25/48 = 781.3 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 781.3·18/72 = 195.3 rpm

Jawapan

n_out = 195.3 rpm

nisbah keseluruhan = 7.68 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.31 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(26000·613592) = 0.07522 rad

φ = 0.07522·180/π = 4.31°

Jawapan

φ = 4.31°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 81.49 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 200 = 50 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa

Jawapan

τ_max = 81.49 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 18.03 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((0 − −30)/2)² + 10²) = 18.03 MPa

Jawapan

τ_max = 18.03 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 165.3 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 200000/(π·40²/4) = 200000/1257 = 159.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 79.58 MPa

R = √(79.58² + 31.83²) = 85.71 MPa

σ₁ = C + R = 165.3 MPa

σ₂ = C − R = −6.13 MPa

Jawapan

σ₁ = 165.3 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 813.5 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706.9 = 162.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 162.7/200000 = 0.0008135 = 813.5 µε

Jawapan

ε = 813.5 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 223.8 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0005·4.477 × 10⁸ = 223838 N = 223.8 kN

Jawapan

P_max = 223.8 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 839.3 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1400² = 839252 N = 839.3 kN

Jawapan

P_cr = 839.3 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 17.27 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/7.5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

Jawapan

σ_cr = 17.27 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 13.05 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/25) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.4²) = 13.05 Hz

Jawapan

f_d = 13.05 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.387 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 80 = 180 kN/m

k_eq = 180·12/(180 + 12) = 11.25 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(11250/50) = 15 rad/s

f_n = 15/(2π) = 2.387 Hz

Jawapan

f_n = 2.387 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design