Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 48N2​ = 72

Sebuah motor 7.5 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 48 gigi, yang bertaut dengan gear 72 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 7.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 48N2 = 72η = 98%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 15B = 18C = 15D = 30

Sebuah motor 7.5 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (18 gigi). Gear C (15 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (30 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran Tout.

P = 7.5 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 18C = 15D = 30ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 2000 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 2000 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.6 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 2000 N·mdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

Satu aci berongga menghantar 30 kW pada 750 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.

P = 30 kWN = 750 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 10σy​ = −10τxy​ = 60MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 10 MPaσy = −10 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 90σy​ = 60τxy​ = −50MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 90 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
80 kNØ20120 GPaØ80/60500 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø2570 GPaØ120/60600 mm

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 150 kNL = 1.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 150 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 150 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
tx12 mm3 kitaran3.9 mm

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 12 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 3.9 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x0 = 12 mmx3 = 3.9 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 25k2​ = 12m = 50 kg

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 12 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.

m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 36.3 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m

Tork keluaran

T2 = 24.7·72/48·0.98 = 36.3 N·m

Jawapan

T2 = 36.3 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 107.7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 1440·(15/18)·(15/30) = 600 rpm
ωout = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 7500·0.95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/62.83 = 107.7 N·m

Jawapan

Tout = 107.7 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 52.69 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.8704)) = 52.69 mm
di = 0.6·52.69 = 31.61 mm

Jawapan

do = 52.69 mm

Aci pepejal memerlukan d = 50.31 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 23.35 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 381972·25/408885 = 23.35 MPa

Jawapan

τmax = 23.35 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θp = 40.27 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·60, 10 − −10) = 80.54°

Sudut pada unsur

θp = 40.27°

Jawapan

θp = 40.27°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 54.35 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 75 + 15·0.766 + −50·0.6428 = 54.35 MPa

Jawapan

σθ = 54.35 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1224 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·2199 = 3.267 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·500/3.267 × 10⁸ = 0.1224 mm

Jawapan

δ = 0.1224 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 593.1 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·8482 = 6.919 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0008571) = 0.0008571 (aluminium)

Beban terbesar

Pmax = 0.0008571·6.919 × 10⁸ = 593088 N = 593.1 kN

Jawapan

Pmax = 593.1 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 13.25 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN

Jawapan

Pcr = 13.25 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 51.37 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·150000 = 300000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51.37 mm

Jawapan

d = 51.37 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 116.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05952

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(12/3.9) = 0.3746

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3746/√(39.48 + 0.1404) = 0.05952

Jawapan

ζ = 0.05952
12.Getaran mekanikal

Jawapan: keq = 37 kN/m

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.

keq = 25 + 12 = 37 kN/m

Jawapan

keq = 37 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design