Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 45 gigi, yang bertaut dengan gear 48 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 48η = 100%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 4 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (32 gigi). Gear C (12 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (18 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran T_out.

P = 4 kWn_in = 1440 rpmA = 15B = 32C = 12D = 18η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 30 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.5 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 105 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 20 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 100 kg pada spring berkekakuan 12 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.35. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 12 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 5 kg tergantung pada spring k₃ = 5 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 14.01 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

Jawapan

T₁ = 14.01 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 79.87 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 1440·(15/32)·(12/18) = 450 rpm

ω_out = 2π·450/60 = 47.12 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 4000·0.97² = 3764 W

T_out = P_out/ω_out = 3764/47.12 = 79.87 N·m

Jawapan

T_out = 79.87 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 17.24 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·38350) = 0.3009 rad

φ = 0.3009·180/π = 17.24°

Jawapan

φ = 17.24°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 29.6 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·80·0.9375)) = 29.6 mm

d_i = 0.5·29.6 = 14.8 mm

Jawapan

d_o = 29.6 mm

Aci pepejal memerlukan d = 28.97 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 73.03 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 110 MPa, R = √(30² + (−20)²) = 36.06 MPa

σ₁ = 146.1 MPa, σ₂ = 73.94 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 146.1, 73.94)/2 = 73.03 MPa

Jawapan

τ_abs = 73.03 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 5.679 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −15·0.6428 + 20·0.766 = 5.679 MPa

Jawapan

τ_θ = 5.679 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.528 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 213.9/70000 = 0.003056 = 3056 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003056·500 mm = 1.528 mm

Jawapan

δ = 1.528 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 4.136 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 20000·343612/846267 = 8121 N

Tegasan

σ₂ = 8121/1963 = 4.136 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 4.136 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 31.64 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/700² = 31639 N = 31.64 kN

Jawapan

P_cr = 31.64 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 25.18 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

Jawapan

σ_cr = 25.18 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 1.633 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(12000/100) = 10.95 rad/s

f_n = 10.95/(2π) = 1.743 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.743·√(1 − 0.35²) = 1.633 Hz

Jawapan

f_d = 1.633 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.502 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 15 + 5 = 20 kN/m

k_eq = 20·5/(20 + 5) = 4 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4000/5) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

Jawapan

f_n = 4.502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design