Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 0.37 kW pada 960 rpm menggerakkan cacing dengan 1 permulaan. Roda cacing mempunyai 40 gigi dan pemacu itu berkecekapan 50%. Cari tork keluaran T_w pada aci roda.

z = 1N_w = 40n = 960 rpmP = 0.37 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (15 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (16 gigi). Gear C (24 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 16C = 24D = 50

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 0.8 m dari A dan 3 m dari B. Cari sudut putaran φ_C keratan C, dalam darjah.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 0.8 mb = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 60° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 110 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 8 kg disokong oleh spring berkekakuan 100 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 140 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 8 kgk = 100 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 10 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 15 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_w = 73.61 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 960·1/40 = 24 rpm

Tork keluaran

ω_w = 2π·24/60 = 2.513 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·370/2.513 = 73.61 N·m

Jawapan

T_w = 73.61 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 675 rpm

Peringkat pertama

n_B = 1500·15/16 = 1406 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1406·24/50 = 675 rpm

Jawapan

n_out = 675 rpm

nisbah keseluruhan = 2.222 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.4789 °

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·613592) = 0.008358 rad

φ = 0.008358·180/π = 0.4789°

Jawapan

φ = 0.4789°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 2.268 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·3/3.8 = 789.5 N·m

T_B = 1000·0.8/3.8 = 210.5 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 789474·800/(26000·613592) = 0.03959 rad = 2.268°

Jawapan

φ_C = 2.268°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 71.96 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 20 − 0·(−0.5) − (−60)·0.866 = 71.96 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −31.96 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 71.96 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 15 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 75 + 45·0 + −60·1 = 15 MPa

Jawapan

σ_θ = 15 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 9.604 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 224.1/70000 = 0.003201 = 3201 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003201·3000 mm = 9.604 mm

Jawapan

δ = 9.604 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 39.45 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 100000·431969/557633 = 77465 N

Tegasan

σ₂ = 77465/1963 = 39.45 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 39.45 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 52.99 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52.99 kN

Jawapan

P_cr = 52.99 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 17.77 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7.5 = 333.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa

Jawapan

σ_cr = 17.77 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07826

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·8) = 1789 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 140/1789 = 0.07826

Jawapan

ζ = 0.07826

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.251 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·10/(40 + 10) = 8 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(8000/40) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

Jawapan

f_n = 2.251 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design