Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 2.2 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 12 gigi, yang bertaut dengan gear 18 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 2.2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 100%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 200 mm dan takal 250 mm yang pusatnya berjarak 800 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 15 kW pada 750 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 15 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 100 N·m bersama-sama dengan tork 250 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 250 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 100 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 12 kg disokong oleh spring berkekakuan 10 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 100 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 50 kg tergantung pada spring k₃ = 80 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 7.244 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m

Jawapan

T₁ = 7.244 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 176.4 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.03125) = 1.791°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·1.791 = 176.4°

Jawapan

θ = 176.4°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 13.86 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·79522) = 0.2418 rad

φ = 0.2418·180/π = 13.86°

Jawapan

φ = 13.86°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 8.3 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·25/575243 = 8.3 MPa

Jawapan

τ_max = 8.3 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 16.85 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 130 − −20) = 33.69°

Sudut pada unsur

θ_p = 16.85°

Jawapan

θ_p = 16.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 50.79 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 47.16²) = 50.79 MPa

Jawapan

τ_max = 50.79 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.09879 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·600/9.111 × 10⁸ = 0.09879 mm

Jawapan

δ = 0.09879 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 236.4 kN

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0005833) = 0.0005833 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0005833·4.053 × 10⁸ = 236405 N = 236.4 kN

Jawapan

P_max = 236.4 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 146.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/700² = 146869 N = 146.9 kN

Jawapan

P_cr = 146.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 53.6 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm

Jawapan

d = 53.6 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 149.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.1443

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692.8 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 100/692.8 = 0.1443

Jawapan

ζ = 0.1443

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.502 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·80/(80 + 80) = 40 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(40000/50) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

Jawapan

f_n = 4.502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design